[论文解读] Adiabatic quantum computing solution of the knapsack problem

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文提出了一种使用伊辛哈密顿量的绝热量子计算（AQC）方法来求解整数权重背包问题，展示了两种量子比特高效的实现方式：一种使用 $ n + c $ 个量子比特，另一种更高效地使用 $ n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1 $ 个量子比特。主要贡献在于通过统计力学和特殊函数（如 polylogarithm 函数）对能隙行为及易难问题实例之间的相变行为进行了分析表征，尤其针对子集和变体问题。

ABSTRACT

We illustrate the adiabatic quantum computing solution of the knapsack problem with both integer profits and weights. For problems with $n$ objects (or items) and integer capacity $c$, we give specific examples using both an Ising class problem Hamiltonian requiring $n+c$ qubits and a much more efficient one using $n+[\log_2 c]+1$ qubits. The discussion includes a brief mention of classical algorithms for knapsack, applications of this commonly occurring problem, and the relevance of further studies both theoretically and numerically of the behavior of the energy gap. Included too is a demonstration and commentary on a version of quantum search using a certain Ising model. Furthermore, an Appendix presents analytic results concerning the boundary for the easy-versus-hard problem-instance phase transition for the special case subset sum problem.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解具有整数权重和收益的 NP-难背包问题的绝热量子计算框架。
• 通过使用 $ n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1 $ 个量子比特而非 $ n + c $ 个量子比特，设计高效的伊辛哈密顿量，以减少量子比特需求。
• 分析 AQC 中背包问题实例的能隙行为，尤其关注易-难相变附近的行为。
• 利用统计力学和特殊函数，对子集和问题的相变边界提供解析结果。
• 探索 AQC 与量子搜索之间的联系，包括线性插值在实现 Grover 类加速方面的局限性。

提出的方法

• 将背包问题表述为带总重量约束的二值优化问题，并以利润最大化为目标。
• 构建伊辛模型形式的问题哈密顿量：$ H_p = -\sum_i h_i \sigma_z^i - \sum_{i<j} J_{ij} \sigma_z^i \sigma_z^j $，以编码背包约束和目标函数。
• 从横向场初始哈密顿量 $ H_0 = -h_0 \sum_i \sigma_x^i $ 出发，通过线性插值 $ H(s) = (1-s)H_0 + sH_p $ 实现绝热演化至问题哈密顿量 $ H_p $。
• 应用统计力学与广义系综方法，对固定所选项目数的受限子集和问题进行建模。
• 使用 dilogarithm 函数 $ \text{Li}_2 $ 推导出归一化能量 $ x $、临界值 $ \kappa_c $ 及相变边界的精确解析表达式。
• 推导出微分关系如 $ \kappa_c(\alpha) = \frac{1}{\ln 2} \int \alpha \, dx(\alpha) $，将能隙与热力学量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以最小的量子比特开销高效地将背包问题编码为伊辛哈密顿量？
• RQ2 在绝热量子计算中，能隙与问题实例从易到难的相变之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用统计力学为子集和问题的临界值 $ \kappa_c $ 推导出解析表达式？
• RQ4 插值函数的选择（如线性与重标度）如何影响 AQC 在量子搜索与优化中的性能？
• RQ5 特殊函数（如 dilogarithm）在热力学极限下对能量与能隙行为的表征中起到何种作用？

主要发现

• 本文构建的高效伊辛哈密顿量仅使用 $ n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1 $ 个量子比特，相较于 $ n + c $ 量子比特版本显著降低了资源需求。
• 对于子集和问题，相变边界通过 $ \kappa_c(\alpha) = \frac{1}{\ln 2} \int \alpha \, dx(\alpha) $ 得到解析表征，其中涉及 dilogarithm 函数的精确表达式。
• 在 $ x = 1/4 $ 和 $ \kappa_c = 1 $ 附近，推导出关系式 $ x(\kappa_c) = \frac{1}{12}(3 \pm 2\sqrt{6\ln 2}\sqrt{1 - \kappa_c}) $，用于描述相变的关键区域。
• 在低能极限（$ \alpha \to \infty $）下，得到关系式 $ x(\kappa_c) \approx \frac{12}{49}(\ln^2 2) \kappa_c^2 $，表明能量与 $ \kappa_c $ 呈二次方缩放。
• 临界值 $ \kappa_c $ 在 $ \alpha \to -\alpha, \mu \to -\mu $ 下表现出对称性，能量与密度也呈现互补对称性。
• 在特殊点处提供了 $ \text{Li}_2(-e^{\alpha_-}) = -\frac{\pi^2}{15} + \frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) $ 和 $ \text{Li}_2(-e^{\alpha_+}) = -\frac{\pi^2}{10} + \frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) $ 的精确闭式表达，从而可精确计算 $ x $ 与 $ \kappa_c $。