[论文解读] Adjustable self-loop on discrete-time quantum walk and its application in spatial search

Huiquan Wang, Jie Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出一种在离散时间量子行走（DTQW）中使用连续实参数控制的自环结构，可在不增加状态空间维度的前提下实现对自环强度的精细调节。通过将每个顶点的自环权重设置为其度中心性（非整数），在二维和三维晶格上，基于DTQW的搜索成功率从O(1/log N)提升至接近100%，且随晶格尺寸增大而略有提升，在20×20晶格上达到97.2%。

ABSTRACT

How self-loops on vertices affect quantum walks is an interesting issue, and self-loops play important roles in quantum walk based algorithms. However, the original model that adjusting the effect of self-loops by changing their number has limitations. For example, the effect of self-loops cannot be adjusted continuously, for their number must be an integer. In this paper, we proposed a model of adjustable self-loop on discrete-time quantum walk, whose weight is controlled by a real parameter in the coin operator. The proposed method not only generalises the situations where the number of self-loops is an integer, but also provides a way to adjust the weight of the self-loop continuously. It enhances the potential of self-loops in applications. For instance, we improve the success rate of the quantum walk based search on a $20 imes20$ two-dimension lattice from $23.6\%$ to $97.2\%$ by the proposed method. And the success rate of the improved search, which only scales as $O(1/\log{N})$ before being improved, even increases slightly with the size of the lattice. To the best of our knowledge, this is the first time that such an improvement is achieved on the quantum walk based spatial search.

研究动机与目标

• 为克服标准DTQW中自环强度仅能离散调整的局限性，即仅能使用整数个自环。
• 消除在调节自环效应时增加行走者状态空间维度的需求。
• 探究连续自环调节是否能显著提升DTQW在二维和三维晶格上的空间搜索性能。
• 确定非整数自环权重（特别是度中心性）是否能将搜索成功率提升至超过标准DTQW的O(1/log N)量级。

提出的方法

• 引入一种改进的量子比特操作符——Grover-loop操作符，通过实参数n控制DTQW演化中的自环权重。
• 每个顶点仅附加一个自环，但通过量子比特操作符中的实参数n调节其有效权重，避免状态空间扩展。
• 当n为非负整数时，该模型复现n个自环的效果；当n为非整数时，其在n与n+1个自环之间进行插值。
• 通过将n设置为每个顶点的度中心性（例如，二维网格内部节点为4），将可调自环应用于二维和三维晶格。
• 利用数值模拟评估不同晶格尺寸下的搜索成功率和峰值时间t_peak。
• 与标准DTQW（无自环）及整数自环模型进行对比，以隔离连续调节带来的性能增益。

实验结果

研究问题

• RQ1 DTQW中的自环强度能否实现连续调节，而非仅限于离散的整数步长？
• RQ2 连续自环调节是否能提升DTQW在二维和三维晶格上的空间搜索成功率？
• RQ3 非整数自环权重（如度中心性）是否能带来优于整数自环数量的搜索性能？
• RQ4 尽管运行时间增加，改进后的搜索算法是否仍保持亚线性计算复杂度？

主要发现

• 所提出的可调自环模型通过量子比特操作符中的实参数实现了自环强度的连续调节，且无需增加状态空间维度。
• 在20×20的二维晶格上，通过将自环权重设置为度中心性（非整数），搜索成功率从23.6%提升至97.2%。
• 在二维晶格上，改进后的搜索成功率随晶格尺寸增大而略有提升，与原始O(1/log N)的衰减趋势相反。
• 该方法可推广至三维晶格，实现相似的高成功率，表明其在二维以外的广泛适用性。
• 计算复杂度保持为O(√N)，证实增强的性能并未以牺牲可扩展性为代价。
• 据作者所知，这是首次在二维和三维晶格的基于DTQW的空间搜索中实现此类性能提升。