[论文解读] Admissible sequences, preprojective modules, and reduced words in the Weyl group of a quiver

Mark Kleiner, Allen Pelley|ArXiv.org|Jun 30, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了无定向环的 quiver 的路径代数上的预投影模、(+)-可接受顶点序列与 Weyl 群中约化字之间的精确对应关系。证明了某个 (+)-可接受序列是某个预投影模的最短消去序列，当且仅当其对应的简单反射乘积是 Weyl 群中的约化字；并进一步表明，对于与不可约对称广义 Cartan 矩阵相关的 Weyl 群中的任意 Coxeter 元素，该群为无限群当且仅当该元素的所有幂次均为约化字。

ABSTRACT

This paper studies connections between the preprojective modules over the path algebra of a finite connected quiver without oriented cycles, the (+)-admissible sequences of vertices, and the Weyl group. For each preprojective module, there exists a unique up to a certain equivalence shortest (+)-admissible sequence annihilating the module. A (+)-admissible sequence is the shortest sequence annihilating some preprojective module if and only if the product of simple reflections associated to the vertices of the sequence is a reduced word in the Weyl group. These statements have the following application that strengthens known results of Howlett and Fomin-Zelevinsky. For any fixed Coxeter element of the Weyl group associated to an indecomposable symmetric generalized Cartan matrix, the group is infinite if and only if the powers of the element are reduced words.

研究动机与目标

• 建立 quiver 表示理论中预投影模、(+)-可接受序列与 Weyl 群元素之间的结构对应关系。
• 阐明 (+)-可接受序列作为某个预投影模的最短消去序列的条件。
• 通过利用 Coxeter 元素的约化字性质，对已知的无限 Weyl 群结果进行强化。

提出的方法

• 将关于最短 (+)-可接受序列消去预投影模的唯一性与最小性结果，推广至所有预投影模，而不仅限于不可约模。
• 通过序列中顶点对应的简单反射的复合，定义从序列到 Weyl 群的群同态。
• 利用 quiver 顶点集的偏序结构及序列间的等价关系，分析约化字的条件。
• 应用 Auslander-Reiten 理论与 Coxeter 群理论的结果，特别是 Coxeter-可排序元素的概念。
• 采用将序列分解为完整子序列的典范方法，以检验对应群字的约化性。
• 利用无定向环的 quiver 存在唯一定向，使得给定顶点序列为 (+)-可接受这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个 (+)-可接受序列是某个预投影模的最短消去序列？
• RQ2 Weyl 群中字的约化性与某个序列可消去某个预投影模之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种条件下，与对称广义 Cartan 矩阵相关的 Weyl 群是无限群？
• RQ4 作为约化字的性质如何与 Auslander-Reiten quiver 的预投影分支结构相关联？
• RQ5 序列所关联的 Weyl 群元素的逆何时是 c-可排序元素？

主要发现

• 对任意预投影模 $ M $，其最短 (+)-可接受消去序列 $ S_M $ 在等价意义下唯一，且 $ M $ 由 $ S_M $ 唯一确定。
• 一个 (+)-可接受序列 $ S $ 是某个预投影模的最短序列，当且仅当其对应简单反射的乘积 $ w(S) $ 是 Weyl 群中的约化字。
• Weyl 群 $ \tilde{\rm W} $ 为无限群当且仅当某个 Coxeter 元素 $ c $ 的所有幂次均为约化字，该结果强化了 Howlett 与 Fomin-Zelevinsky 的已知结果。
• 若基础图 $ \Gamma $ 不是 A、D 或 E 型，则每个 (+)-可接受序列 $ S $ 均对应一个约化字 $ w(S) $，且存在一个预投影模 $ M $ 使得 $ S \sim S_M $。
• 对任意 Coxeter 元素 $ c = \sigma_{v_n} \cdots \sigma_{v_1} $，$ w(S_M) $ 的逆是 Weyl 群中的 $ c $-可排序元素。
• 一个序列 $ S $ 产生约化字 $ w(S) $ 当且仅当其可分解为子序列 $ T_i $，使得每个 $ w(T_i) $ 均为约化字，且各 $ T_i $ 的支撑集以递减方式嵌套。