[论文解读] Weyl Groups with Coxeter Presentation and Presentation by Conjugation

Georg Hofmann|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文研究了扩展仿射根系（EARS）的外尔群在何种条件下具有考克斯eter表示或共轭表示。研究证明：扩展仿射外尔群（EAWeG）具有考克斯eter表示当且仅当该EARS的亏格 ≤ 1；且每个EAWeG均能通过某个EARS实现共轭表示，该结果通过根系的极小性条件实现。主要贡献在于对EARS背景下这些表示的完整刻画。

ABSTRACT

We investigate which Weyl groups have a Coxeter presentation and which of them at least have the presentation by conjugation with respect to their root system. For most concepts of root systems the Weyl group has both. In the context of extended affine root systems (EARS) there is a small subclass allowing a Coxeter presentation of the Weyl group and a larger subclass allowing the presentation by conjugation. We give necessary and sufficient conditions for both classes. Our results entail that every extended affine Weyl group (EAWeG) has the presentation by conjugation with respect to a suitable EARS.

研究动机与目标

• 确定哪些扩展仿射根系（EARS）的外尔群具有考克斯eter表示。
• 研究根集的外尔群在何种条件下具有共轭表示。
• 建立每个扩展仿射外尔群（EAWeG）均能相对于某个EARS实现共轭表示。
• 刻画支持共轭表示的极小EARS。
• 阐明根系类型（如BCℓ、Bℓ、Cℓ）与此类表示存在性之间的关系。

提出的方法

• 引入根集的概念，以统一有限根系、局部有限根系及扩展仿射根系等各类根系概念。
• 将共轭表示定义为使用根对合生成的群表示，关系式为：rα² = 1 且 rα rβ rα⁻¹ = r_{rα(β)}，其中 α, β ∈ R×。
• 应用EARS中的极小性概念（定义3.4）以刻画共轭表示成立的条件。
• 利用外尔群作用结构与轨道分解，将问题约化为不可约分量。
• 应用维纳伯格与德奥达尔关于反射群与离散线性群的结果，分析根系类型。
• 通过商群与V/V⁰上的自同构群实施约化技术，以验证极小性条件与根系类型变化的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，扩展仿射根系（EARS）的外尔群具有考克斯eter表示？
• RQ2 根集的外尔群在何种条件下具有共轭表示？
• RQ3 EARS的极小性与共轭表示存在性之间的确切关系为何？
• RQ4 从一般EARS过渡到极小EARS时，可能出现哪些根系类型变化（如BCℓ → A₁, BC₂ → B₂, BCℓ → Bℓ, BCℓ → Cℓ，ℓ ≥ 3）？
• RQ5 每个扩展仿射外尔群（EAWeG）是否均能相对于某个EARS实现共轭表示？

主要发现

• 扩展仿射外尔群（EAWeG）相对于其EARS具有考克斯eter表示，当且仅当该EARS的亏格小于或等于1。
• EAWeG相对于其EARS具有共轭表示，当且仅当该EARS是极小的（定义3.4）。
• 每个EAWeG均能相对于某个EARS实现共轭表示，因为每个EARS都包含一个极小子EARS。
• 从一般EARS过渡到极小EARS时，可能的类型变化仅有：BC₁ → A₁，BC₂ → B₂，BCℓ → Bℓ，以及BCℓ → Cℓ（ℓ ≥ 3）。
• 共轭表示等价于使用生成元rα与关系式rα² = 1 和 rα rβ rα⁻¹ = r_{rα(β)}（α, β ∈ R×）的标准群表示。
• 存在考克斯eter表示蕴含存在共轭表示，但反之不成立，尤其在亏格 > 1时一般不成立。