[论文解读] Admissible unitary completions of locally $Q_p$-rational representations of $GL_2(F)$

Vytautas Paškūnas|ArXiv.org|May 7, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文利用格理论与表示论，为 $p$-进域 $F$ 上 $rm{GL}_2(F)$ 的局部 $\mathbb{Q}_p$-有理表示构造了可接受的酉完备化。关键结果表明，存在 $L'$-Banach 空间表示，其包含稠密的 $G$-不变子模，同构于 $\pi \otimes_{L'} W_{L'}$，且其到某些模 $p$ 表示的 Hom 空间非零，当 $F = \mathbb{Q}_p$ 时，此结果与伽罗瓦表示相关联。该构造适用于 $L$-向量空间上的光滑表示，并为将模 $p$ 伽罗瓦表示提升为具有指定 Hodge-Tate 权重的晶状表示提供了框架。

ABSTRACT

Let $F$ be a finite extension of $Q_p$, $p>2$. We construct admissible unitary completions of certain representations of $GL_2(F)$ on $L$-vector spaces, where $L$ is a finite extension of $F$. When $F=Q_p$ using the results of Berger, Breuil and Colmez we obtain some results about lifting 2-dimensional mod $p$ representations of the absolute Galois group of $Q_p$ to crystabelline representations with given Hodge-Tate weights.

研究动机与目标

• 为 $\mathrm{GL}_2(F)$ 的局部 $\mathbb{Q}_p$-有理表示构造可接受的酉 Banach 空间表示。
• 当 $F = \mathbb{Q}_p$ 时，建立将二维模 $p$ 伽罗瓦表示提升为具有指定 Hodge-Tate 权重的晶状表示的机制。
• 证明此类完备化源自 $K$-型、格与模 $p$ 表示的半简化结构的系统性构造。
• 证明任何可接受的酉完备化均来自所提议的构造，从而确保分类的完备性。
• 阐明在酉完备化语境下“非算术”模 $p$ 表示的作用，并说明其为何被排除在理论之外。

提出的方法

• 构造利用 $K$-不变格，位于 $\tau \otimes W$ 中，其中 $\tau$ 是 $K = \mathrm{GL}_2(\mathfrak{o})$ 上光滑不可约 $L$-表示，$W$ 是 $G$ 上的 $\mathbb{Q}_p$-有理表示。
• 应用类型理论与 Bernstein 分量理论，对 $\mathfrak{R}_{\mathfrak{s}}$（即 $G$ 的光滑表示范畴）中的表示进行分类。
• 该方法依赖于从模 $p$ 表示 $\kappa$ 的提升，通过在 $M \otimes_A k$ 中存在子商 $\sigma$，其中 $M$ 是 $\tau \otimes W$ 中的格。
• 利用诱导表示的结构与 $\operatorname{Sym}^n k_L^2$ 的半简化，分析子商与中心特征标。
• 关键技术工具是使用完备群代数，以及在 $A$-模范畴中使用投射/内射包络，其中 $A$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张 $L$ 的整环。
• 证明该构造具有普遍性：每个可接受的酉完备化均来自此方法，依据为命题 6.2 与引理 7.8。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $F$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张时，能否为 $\mathrm{GL}_2(F)$ 的局部 $\mathbb{Q}_p$-有理表示构造可接受的酉完备化？
• RQ2 在何种条件下，模 $p$ 表示 $\kappa$ 可提升为具有非零 Hom 空间到单位球的酉 Banach 空间表示？
• RQ3 Berger、Breuil 与 Colmez 关于 $p$-进霍奇理论的结果，如何与模 $p$ 伽罗瓦表示提升为晶状表示相关联？
• RQ4 类型 $\tau$ 及其格 $M$ 在此类完备化构造中起何作用？
• RQ5 所得完备化是否在拓扑上不可约？在何种情况下它们不具“典型性”？

主要发现

• 当 $p > 2$ 时，给定 $K$ 的典型光滑不可约 $L$-表示 $\tau$ 与 $\mathbb{Q}_p$-有理表示 $W$，存在 $L$ 的有限扩张 $L'$，以及一个可接受的酉 $L'$-Banach 空间表示 $E$，使得对某个 $\pi \in \mathfrak{R}_{\mathfrak{s}}$，有 $\pi \otimes_{L'} W_{L'}$ 在 $E$ 中稠密。
• 该构造确保 $\operatorname{Hom}_G(\kappa \otimes_k k', E^0 \otimes_{A'} k') \neq 0$，其中 $E^0$ 是 $E$ 中的单位球，从而将完备化与模 $p$ 表示 $\kappa$ 联系起来。
• 当 $F = \mathbb{Q}_p$ 时，Berger、Breuil 与 Colmez 的结果表明，这些完备化在拓扑上不可约，且可被提升为具有指定 Hodge-Tate 权重的晶状伽罗瓦表示。
• 这些完备化通常不具典型性，尤其当 $\kappa$ 为上行表示时，表明相关 $p$-进伽罗瓦表示具有非典型性质。
• 任何可接受的酉完备化均来自所提议的构造，如命题 6.2 与引理 7.8 所示，从而确立了该方法的普遍性。
• 明确计算了 $\operatorname{Sym}^n k_L^2$ 的半简化，以 $p$-进数字表示，并利用此结构证明：当 $n \geq p^2 - 1$ 时，所有具有中心特征标 $\omega^n$ 的不可约 $k_L$-表示均作为子商出现。