[论文解读] Affine Fomin-Kirillov algebra

Seung Jin Lee|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入仿射 Fomin-Kirillov 代数以研究 A 型中的仿射 Schubert 上同调，构造了 Murnaghan-Nakayama 元素与 Dunkl 元素，它们通过 Bruhat 作用在仿射旗流形的同调上彼此交换。该研究建立了与 cap 算子和 Pieri 算子的相容性，证明了由这些元素生成的交换子代数在上同调上是满射的，并推导出 Murnaghan-Nakayama 法则以及利用 $k$-strong-ribbon 表给出的 $k$-Schur 函数的新公式。

ABSTRACT

We construct the affine version of the Fomin-Kirillov algebra, which we call affine FK algebra, to investigate the combinatorics of affine Schubert calculus for type $A$. We introduce Murnaghan-Nakayama elements and Dunkl elements as elements in the affine FK algebra. We show that they give commutative operators acting on the homology of the affine flag variety via Bruhat actions. We show that the Murnaghan-Nakayama element as a Bruhat action is compatible with the cap operators defined by the author using the Kumar and Kostant's work \cite{Lee14}, and with the Pieri operators defined by Berg, Saliola and Serrano using strong strips \cite{BSS14}. This shows that the commutative subalgebra generated by those elements surgects onto the cohomology of affine flag variety. As a byproduct, we obtain Murnaghan-Nakayama rules for the affine flag variety, and for affine Stanley symmetric functions. We also define $k$-strong-ribbon tableaux from Murnaghan-Nakayama elements to provide the new formula of $k$-Schur functions.

研究动机与目标

• 开发 Fomin-Kirillov 代数的仿射版本，以研究 A 型中的仿射 Schubert 上同调。
• 在仿射 FK 代数中定义并分析 Murnaghan-Nakayama 元素与 Dunkl 元素。
• 确立这些元素通过 Bruhat 作用在仿射旗流形同调上生成一个交换子代数。
• 证明这些算子与现有构造的相容性：cap 算子（Kumar 和 Kostant）与 Pieri 算子（Berg, Saliola, Serrano）。
• 推导仿射旗流形与仿射 Stanley 对称函数的 Murnaghan-Nakayama 法则，并通过 $k$-strong-ribbon 表定义 $k$-Schur 函数的新公式。

提出的方法

• 将仿射 Fomin-Kirillov 代数构造为有限 Fomin-Kirillov 代数的推广。
• 在仿射 FK 代数中引入 Murnaghan-Nakayama 元素与 Dunkl 元素作为特定生成元。
• 定义这些元素在仿射旗流形同调上的 Bruhat 作用，证明其彼此交换。
• 确立 Murnaghan-Nakayama 元素的 Bruhat 作用与 Lee（2014）定义的 cap 算子以及 Berg, Saliola 与 Serrano（2014）定义的 Pieri 算子之间的相容性。
• 利用交换作用证明由这些元素生成的子代数在仿射旗流形的上同调上是满射的。
• 通过 Murnaghan-Nakayama 元素构造 $k$-strong-ribbon 表作为组合对象，以表达 $k$-Schur 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Fomin-Kirillov 代数扩展到仿射情形，以建模 A 型中的仿射 Schubert 上同调？
• RQ2 仿射 FK 代数中的 Murnaghan-Nakayama 元素与 Dunkl 元素是否通过 Bruhat 作用在仿射旗流形同调上作为交换算子作用？
• RQ3 Murnaghan-Nakayama 元素的作用是否与 Kumar 和 Kostant 定义的 cap 算子相容？
• RQ4 Murnaghan-Nakayama 元素的作用是否与 Berg, Saliola 与 Serrano 通过 strong strips 定义的 Pieri 算子相容？
• RQ5 由这些元素生成的交换子代数是否能实现仿射旗流形的完整上同调？从该构造中会涌现出何种组合公式？

主要发现

• Murnaghan-Nakayama 元素通过 Bruhat 作用在仿射旗流形的同调上表现为交换算子。
• Murnaghan-Nakayama 元素的作用与 Kumar 和 Kostant 工作中定义的 cap 算子相容。
• 该作用也与 Berg, Saliola 与 Serrano 通过 strong strips 定义的 Pieri 算子相容。
• 由 Murnaghan-Nakayama 与 Dunkl 元素生成的交换子代数在仿射旗流形的上同调上是满射的。
• 该构造导出了仿射旗流形与仿射 Stanley 对称函数的 Murnaghan-Nakayama 法则。
• 本文从 Murnaghan-Nakayama 元素中定义了 $k$-strong-ribbon 表，为 $k$-Schur 函数提供了新的组合公式。