[论文解读] Equivariant quantum cohomology and Yang-Baxter algebras

Vassily Gorbounov, Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文在量子上同调的两种深层方法之间建立桥梁：Peterson的仿射零化Hecke代数框架与来自Nakajima quiver概形的Yang-Baxter可积系统。它构建了一个等变量子可积晶格模型，其状态空间为格拉斯曼流形的等变量子上同调的直和，表明Yang-Baxter代数作用于该空间，并包含一个与等变量子上同调同构的交换Bethe代数，通过Schur-Weyl对偶性揭示了其底层的量子群结构。

ABSTRACT

There are two intriguing statements regarding the quantum cohomology of partial flag varieties. The first one relates quantum cohomology to the affinisation of Lie algebras and the homology of the affine Grassmannian, the second one connects it with the geometry of quiver varieties. The connection with the affine Grassmannian was first discussed in unpublished work of Peterson and subsequently proved by Lam and Shimozono. The second development is based on recent works of Nekrasov, Shatashvili and of Maulik, Okounkov relating the quantum cohomology of Nakajima varieties with integrable systems and quantum groups. In this article we explore for the simplest case, the Grassmannian, the relation between the two approaches. We extend the definition of the integrable systems called vicious and osculating walkers to the equivariant setting and show that these models have simple expressions in a particular representation of the affine nil-Hecke ring. We compare this representation with the one introduced by Kostant and Kumar and later used by Peterson in his approach to Schubert calculus. We reveal an underlying quantum group structure in terms of Yang-Baxter algebras and relate them to Schur-Weyl duality. We also derive new combinatorial results for equivariant Gromov-Witten invariants such as an explicit determinant formula.

研究动机与目标

• 调和量子上同调中两个重要进展：Peterson的仿射零化Hecke代数方法与Maulik-Okounkov-Nekrasov可积系统框架。
• 通过仿射零化Hecke代数的新表示，将vicious和osculating行走理论扩展到等变设置。
• 在Yang-Baxter代数中识别出一个与格拉斯曼流形的等变量子上同调同构的交换Bethe代数。
• 通过完成的等变参数张量积中的幂等元，厘清代数中仿射Hecke代数作用在Schubert基与Peterson基之间的关系。
• 推导出等变Gromov-Witten不变量的新组合公式，包括一个显式的行列式公式。

提出的方法

• 构建一个量子可积晶格模型，其状态空间为 $\mathcal{V} = \bigoplus_{n=0}^N \mathcal{V}_n$，其中 $\mathcal{V}_n \cong QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$。
• 通过Yang-Baxter方程的解定义Yang-Baxter代数，将其作用于 $\mathcal{V}$ 作为量子对称性。
• 识别Yang-Baxter代数中的一个交换子代数——由转移矩阵生成——与等变量子上同调 $QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$ 同构。
• 使用仿射零化Hecke代数的新表示（不同于Kostant-Kumar与Peterson的表示）来描述其在 $\mathcal{V}$ 上的作用。
• 将 $\tilde{S}_\lambda$ 在Bethe向量 $Y_\alpha$ 上的作用与GKM类 $\xi_\lambda(y_\alpha) = s_\lambda(y_\alpha|t)$ 联系起来，将Schur多项式与量子乘法联系起来。
• 通过映射 $|v\rangle = \sum_u \xi_v(u) \otimes Y_u$ 映射到Schubert类 $\sigma_v$，建立同构 $\mathcal{V}_P \to QH_T^*(G/P)$，其中乘法定义为 $|w\rangle \circledast |v\rangle = S_w |v\rangle$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将格拉斯曼流形的等变量子上同调实现为源自可积系统的Yang-Baxter代数上的模？
• RQ2 此处使用的仿射零化Hecke代数的新表示与Kostant-Kumar/Peterson表示在Schubert演算中的精确关系为何？
• RQ3 Yang-Baxter代数中的交换Bethe代数能否显式识别为格拉斯曼流形的等变量子上同调？
• RQ4 在 $QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N}) \otimes \mathbb{F}_q$ 中，仿射Hecke代数在Schubert基与幂等基上的作用有何不同？
• RQ5 量子上同调与可积系统之间的相互作用会涌现出哪些组合结构，如行列式公式？

主要发现

• Yang-Baxter代数作用于等变量子上同调的直和 $\mathcal{V} = \bigoplus_n QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$ 上，其由转移矩阵生成的交换子代数与每个格拉斯曼流形的等变量子上同调同构。
• 构造了一种仿射零化Hecke代数的新表示，以不同于Kostant-Kumar与Peterson方法的方式实现量子上同调作用，但仍正确给出Schubert结构常数。
• Schur多项式 $s_\lambda(y_\alpha|t)$ 在Bethe向量 $Y_\alpha$ 上的作用对应于乘以GKM类 $\xi_\lambda(y_\alpha)$，将量子乘法与可积系统联系起来。
• 乘积 $|\lambda\rangle \circledast |\mu\rangle = \sum_\alpha s_\mu(y_\alpha|t) \cdot (\tilde{S}_\lambda Y_\alpha)$ 被显式计算并证明等于 $\sum_\alpha (j_{\hat{w}^\lambda} s_\mu(y_\alpha|t)) Y_\alpha$，与Peterson基的一致性得到确认。
• 通过Yang-Baxter代数与量子Schur多项式的相互作用，推导出等变Gromov-Witten不变量的新行列式公式。
• 通过映射 $|v\rangle \mapsto \sigma_v$ 建立同构 $\mathcal{V}_P \to QH_T^*(G/P)$，其中乘法由 $S_w$ 的作用定义，为量子上同调提供了新的代数框架。