[论文解读] Affine Laumon spaces and integrable systems

Andrei Neguţ|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文证明了Braverman关于${\mathcal{N}}=2$规范理论在$\mathbb{C}^2$上带有伴随物质时的Nekrasov分划函数与非定常仿射三角形Calogero-Moser哈密顿量的变形之间关系的猜想。它确立了仿射Laumon空间上积分的生成函数等于该哈密顿量的归一化本征函数，其中归一化涉及$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$的Weyl行列式，通过这些空间的等变上同调与$K$-理论实现了分划函数的几何实现。

ABSTRACT

In this paper we formalize and prove a conjecture of Braverman concerning integrals of the Chern polynomial of the tangent bundle to affine Laumon spaces. This provides the computation of the Nekrasov partition function of N = 2 gauge theory with adjoint matter on C^2 in the Omega background, in the presence of a full surface operator insertion

研究动机与目标

• 正式化并证明Braverman关于${\mathcal{N}}=2$规范理论在$\mathbb{C}^2$上带有伴随物质时在$\Omega$-背景下的Nekrasov分划函数的猜想。
• 将仿射Laumon空间上陈类多项式积分的生成函数与非定常仿射三角形Calogero-Moser哈密顿量的本征函数联系起来。
• 在等变上同调与仿射Laumon空间的$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$互现算子之间建立几何联系。
• 通过引入分划函数的$K$-理论形变，将先前在普通Laumon空间上的结果推广到完整的仿射情形。

提出的方法

• 本文在仿射Laumon空间的等变上同调$H = \bigoplus_{\mathbf{d} \in \mathbb{N}^n} H^*_T(\mathcal{M}_\mathbf{d})$上构造了一个Ext算子$A_m$，其特征函数为生成函数$\tilde{Z}_m$。
• 它将$A_m$的特征函数与非定常哈密顿量$\mathcal{H}_m$的本征函数$Y_m$关联起来，该本征函数通过Weyl行列式$\delta^{m+1}$和单项式$x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}$进行归一化。
• 关键技术步骤涉及将$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-互现算子作用于上同调与$\mathcal{H}_m$的本征函数结构联系起来，使用了[7]中关于非定常可积系统的结果。
• 通过$\chi_T(\mathcal{M}_\mathbf{d}, \sum_k (-q^{2m})^k \wedge^k(T^\vee \mathcal{M}_\mathbf{d}))$引入$K$-理论形变$Z_m$，该表达式在$\hbar \to 0$极限下退化为$\tilde{Z}_m$。
• 利用留数计算与生成函数恒等式，将$K$-理论结构常数$B_{k_1,\dots,k_t|}$与本征函数展开联系起来，证明了对数恒等式(2.62)。
• 证明依赖于在$y_s = 0, \infty$处的递归留数计算，得到$B_{|k_1,\dots,k_t}$与$B_{k_1,\dots,k_t|}$之间的关系，从而导出指数生成函数恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过仿射Laumon空间上的积分几何实现${\mathcal{N}}=2$规范理论中带有伴随物质的Nekrasov分划函数？
• RQ2 生成函数$\tilde{Z}_m$与非定常仿射三角形Calogero-Moser哈密顿量$\mathcal{H}_m$的本征函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 $K$-理论形变$Z_m$与等变上同调生成函数$\tilde{Z}_m$之间有何关系？
• RQ4 能否将仿射Laumon空间上同调的Ext算子$A_m$识别为$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$作用的互现算子？
• RQ5 Weyl行列式$\delta$在将本征函数$Y_m$归一化以恢复$\tilde{Z}_m$的过程中起什么作用？

主要发现

• 证明了生成函数$\tilde{Z}_m$等于$\frac{Y_m}{x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n} \cdot \delta^{m+1}}$，其中$Y_m$是非定常哈密顿量$\mathcal{H}_m$的本征函数。
• 规范理论中的等变参数$a_i$与本征函数参数$b_i$通过关系$b_i - b_{i-1} = a_i - \frac{\sum a_j}{n} + \frac{p}{n}(i - \frac{n+1}{2})$相关联，将几何与表示理论联系起来。
• $K$-理论分划函数$Z_m$被证明是$\tilde{Z}_m$的$q$-形变，其中$u_i = e^{\hbar a_i}$，$q = e^{\hbar}$，$\bar{q} = e^{\hbar p}$，且在$\hbar \to 0$极限下恢复上同调情形。
• 在$y_s = 0, \infty$处的留数计算导出了结构常数$B_{k_1,\dots,k_t|}$的递归恒等式，从而导出(2.62)中的指数生成函数恒等式。
• 建立了关键代数关系$\left(\sum_k g_k x^k\right) A_m = A_m \left(\sum_k g_k x^k\right) \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k} \cdot \frac{q^{(\gamma+mn)k} - q^{-(mn+\gamma)k}}{{\overline{q}}^k - {\overline{q}}^{-k}}\right)$。
• 本文确认Ext算子$A_m$与$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$互现算子可交换，且其特征函数为本征函数$Y_m$，从而证明了主要定理。