[论文解读] Affine quiver Schur algebras and $p$-adic $GL_n$

Vanessa Miemietz, Catharina Stroppel|UEA Digital Repository (University of East Anglia)|Jan 27, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文建立了 $p$-进 $ {GL}_n$ 的完备仿射施图尔姆代数与循环 quiver 关联的 quiver 施图尔姆代数之间的显式同构，揭示了隐藏的分次结构与几何结构。该同构通过 quiver flag 变体上的卷积代数构造而成，为单峰块的最低层提供了几何实现，并使代数具备与 KLR 代数框架相适应的基，该结论在 $ {GL}_2(\mathbb{Q}_5)$、$ { ext{ℓ}}=3$ 的情形下得到验证。

ABSTRACT

In this paper we consider the (affine) Schur algebra introduced by Vignéras as the endomorphism algebra of certain permutation modules for the Iwahori-Matsumoto Hecke algebra. This algebra describes, for a general linear group over a $p$-adic field, a large part of the unipotent block over fields of characteristic different from $p$. We show that this Schur algebra is, after a suitable completion, isomorphic to the quiver Schur algebra attached to the cyclic quiver. The isomorphism is explicit, but nontrivial. As a consequence, the completed (affine) Schur algebra inherits a grading. As a byproduct we obtain a detailed description of the algebra with a basis adapted to the geometric basis of quiver Schur algebras. We illustrate the grading in the explicit example of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ in characteristic $3$

研究动机与目标

• 为特征不等于 $p$ 的域上 $p$-进 $ {GL}_n$ 表示理论中单峰块的最低层提供几何实现。
• 证明作为 Iwahori-Matsumoto Hecke 代数上置换模的自同态代数而出现的完备仿射施图尔姆代数，同构于与循环 quiver 关联的 quiver 施图尔姆代数。
• 为完备仿射施图尔姆代数赋予一个分次结构，以及一个与 quiver 施图尔姆代数的几何基相适应的基。
• 通过 quiver Hecke 代数与等变上同调，将 Hall 代数的范畴化推广至 $p$-进情形。

提出的方法

• 将仿射施图尔姆代数 $S$ 构造为 Iwahori-Matsumoto Hecke 代数 $H = k[I\backslash G/I]$ 上若干置换模的直和的自同态环。
• 对由平凡表示关联的中心特征标生成的理想完成 $S$，得到 $\widehat{S}$。
• 将 quiver 施图尔姆代数 $A_d$ 实现为与循环 quiver 的带旗幂零表示相关的 Steinberg 型簇 $Z(\hat{\lambda}, \hat{\mu})$ 的 $ {GL}_d(\mathbb{C})$-等变 Borel-Moore 上同调的直和。
• 利用这些簇的几何结构在 $A_d$ 上定义卷积乘积，其结构与 KLR 代数相仿。
• 通过匹配忠实表示与中心元素，建立 $\widehat{S}$ 与完备 quiver 施图尔姆代数 $\widehat{A}_d$ 之间的显式代数同构。
• 在特殊情形 $ {GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ 下验证该同构，表明其与 Ext-quiver 及关系相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 完备仿射施图尔姆代数是否同构于由循环 quiver 生成的 quiver 施图尔姆代数？
• RQ2 仿射施图尔姆代数能否从 quiver 施图尔姆代数结构继承一个分次？
• RQ3 quiver flag 变体与等变上同调的几何结构如何与 $p$-进 $ {GL}_n$ 的表示理论相关联？
• RQ4 在 $ {GL}_2(\mathbb{Q}_5)$、$ { ext{ℓ}}=3$ 的例子中，单峰块的 Ext-quiver 与 quiver Hecke 代数关系之间的确切关系是什么？
• RQ5 该同构是否可延拓至退化情形 $q=1$，此时 Hecke 代数变为扩展仿射 Weyl 群的群代数？

主要发现

• 完备仿射施图尔姆代数 $\widehat{S}$ 同构于与具有 $e$ 个顶点的循环 quiver 关联的完备 quiver 施图尔姆代数 $\widehat{A}_d$，其中 $e$ 为 $q$ 模 $\ell$ 的阶。
• 该同构使 $\widehat{S}$ 获得一个自然的 $\mathbb{Z}$-分次结构，该分次结构通过卷积代数结构继承自 quiver 施图尔姆代数的分次。
• $\widehat{S}$ 允许一个与 quiver 施图尔姆代数的几何基相适应的基，该基源于等变 Borel-Moore 上同调对 Steinberg 型簇 $Z(\hat{\lambda}, \hat{\mu})$ 的实现。
• 在 $ {GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ 特征为 3 的情形下，单峰块的 Ext-quiver 被显式计算，其结果与 quiver Hecke 代数关系一致，其中中心元素 $z = x_{1,1} + x_{2,1}$ 满足给定关系。
• 在退化情形 $q=1$ 下，同构可延拓为 $\widehat{S}_{q=1} \cong \widehat{A}_n$，其中 quiver Hecke 代数 $R_n$ 被识别为 $\widehat{S}_{q=1}$ 的子代数，并在 $C[[x_1, \dots, x_n]]$ 上构造了一个忠实表示。