[论文解读] Alg\\`ebres de Hecke avec param\\`etres et repr\\'esentations d'un groupe p-adique classique: pr\\'eservation du spectre temp\\'er\\'e

Volker Heiermann|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于 $p$-进经典群（正交群、辛群或一般线性群的内形式）的光滑表示的 Bernstein 分量等价性与带参数的 Hecke 代数上的模之间，保持了温和谱和离散系列表示。关键结果确认，由诱导表示 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ 导出的 Morita 等价性尊重了温和和离散系列结构，扩展了此前关于这些范畴代数结构的研究。

ABSTRACT

Let G be an orthogonal or symplectic p-adic group (not necessarily split) or an inner form of a general linear p-adic group. In a previous paper, it was shown that the Bernstein components of the category of smooth representations of G are equivalent to the category of right modules over some Hecke algebra with parameters, or more general over the semi-direct product of such an algebra with a finite group algebra. The aim of the present paper is to show that this equivalence preserves the tem- pered spectrum and the discrete series representations.

研究动机与目标

• 将光滑表示的 Bernstein 分量与带参数的 Hecke 代数上的模之间的 Morita 等价性扩展至保持温和谱和离散系列。
• 建立由诱导表示 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ 导出的等价性在 $p$-进经典群中保持温和和离散系列结构。
• 分析 Hecke 模的指数与 $G$-表示的 Jacquet 模之间的关系，以证明谱的保持性。
• 验证谱性质（温和性与模中心的平方可积性）在 $p$-进群（非分裂或内形式）的上下文中，于 Morita 等价下保持不变。
• 在 $p$-进群的表示理论与带参数的 Hecke 代数的模理论之间建立结构性联系，确保关键谱不变量得以保持。

提出的方法

• 利用 $p$-进群 $G$ 的光滑表示范畴的 Bernstein 分解，聚焦于与一个 cuspidal 对关联的固定 Bernstein 分量 $\mathcal{O}$。
• 将诱导表示 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ 用作 Bernstein 分量 $Rep_{\mathcal{O}}(G)$ 的一个 progenerator，从而诱导出与右 $\mathcal{H}$-模范畴之间的 Morita 等价性。
• 将自同态代数 $\mathcal{H} = \mathrm{End}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}})$ 识别为一个半直积，即 Lusztig 意义下的带参数 Hecke 代数与有限群代数的半直积。
• 分析 $\mathcal{H}$-模的指数，并通过 Weyl 群作用与根系将它们与 $G$-表示的 Jacquet 模的指数联系起来。
• 应用非阿基米德根系理论与 Weyl 群作用，比较等价关系下谱数据（特征值与字符的实部）的异同。
• 利用标准与反标准抛物子群的结构以及李代数的分解，控制特征标及其实部在等价关系下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $p$-进经典群的光滑表示范畴与带参数的 Hecke 代数上的模之间的 Morita 等价性是否保持了温和谱？
• RQ2 在该等价性下，离散系列表示是否被映射为离散系列表示？
• RQ3 Hecke 模的指数如何与 $G$-表示的 Jacquet 模的指数相关联？
• RQ4 谱不变量（温和性与模中心的平方可积性）能否通过 Hecke 代数结构进行代数表征？
• RQ5 在非分裂或 $p$-进群的内形式背景下，温和谱的保持性是否在 Weyl 群作用与根系分解下保持稳定？

主要发现

• Morita 等价性 $V \mapsto \mathrm{Hom}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}, V)$ 保持了 $G$-表示的温和谱。
• 该等价性保持了离散系列表示，即一个表示是离散系列当且仅当其在等价下的像为 Hecke 代数上的离散系列模。
• $\mathcal{H}$-模的指数被证明与 $G$-表示的 Jacquet 模的指数一致，从而建立了谱对应关系。
• 对于模中心为平方可积类型的表示，该等价性精确地将其映射为 Hecke 代数上的相应离散系列模。
• 证明依赖于 Weyl 群作用与根系分解（包括类型 $B_d$、$D_d$ 和 $A_{d-1}$）控制权分解中系数的符号，确保非正系数对应于温和或离散系列。
• 在温和情形下，由 Weyl 元素 $w_{0,1}$ 的作用导出条件 $\lambda_{1,d_1} = 0$，确认权重为正根的非正线性组合，这正是温和性的特征。