[论文解读] Algebraic and differential generic Galois groups for q-difference equations, followed by the appendix "The Galois D-groupoid of a q-difference system" by Anne Granier

Lucia Di Vizio, Charlotte Hardouin|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文为 K(x) 上的 q-差分方程建立了 Grothendieck 的 p-曲率猜想的完整类比，其中 K 是 Q 的有限生成扩张，q 为超越或代数元。本文引入并比较了两个伽罗华群——一般伽罗华群 Gal(M) 与一般微分伽罗华群 Gal^D(M)，并证明 Gal^D(M) 推广了伽罗华 D-群丛，将解之间的微分关系与群的维数联系起来，适用于特征零情形。

ABSTRACT

We give a complete answer to the analogue of Grothendieck conjecture on p-curvatures for q-difference equations defined over K(x), where K is any finitely generated extension of Q and q\in K can be either a transcendental or an algebraic number. This generalizes the results in [DV02], proved under the assumption that K is a number field and q an algebraic number. The results also hold for a field K which is a finite extension of a purely transcendental extension k(q) of a perfect field k. If k is a number field and q is a parameter, one can either reduce the equation modulo a finite place of k or specialize the parameter q, or both. In particular for q=1, we obtain a differential equation defined over a number field or in positive characteristic. In \S II, we consider two Galois groups attached to a q-difference module M over K(x): the generic Galois group Gal(M), in the sense of [Kat82]; if char K=0, the generic differential Galois group Gal^D(M), which is a Kolchin differential algebraic group. We deduce an arithmetic description of Gal(M) (resp. Gal^D(M)). In positive characteristic, we prove some devissage. There are many Galois theories for q-difference equations defined over fields such as C, the elliptic functions, or the differential closure of C. In \S III, we show that the Galois D-groupoid [Gra09] of a nonlinear q-difference system generalizes Gal^D(M). In \S IV we give some comparison results between the two generic Galois groups above and the other Galois groups for linear $q$-difference equations in the literature. We compare: the group introduced in [HS08] with the Gal^D(M) and hence with the Galois D-groupoid (cf [Mal09]); Gal(M) and Gal^D(M) to the generic Galois groups of the modules obtained by specialization of q or by reduction in positive characteristic. We relate the dimension of Gal^D(M) to the differential relations among the solutions of M.

研究动机与目标

• 将 Grothendieck 的 p-曲率猜想推广至 K(x) 上的 q-差分方程，其中 K 是 Q 的有限生成扩张，q 为超越或代数元。
• 在特征零下，为 q-差分模 M 定义并分析两个伽罗华群：一般伽罗华群 Gal(M) 与一般微分伽罗华群 Gal^D(M)。
• 通过 Gal^D(M) 将非线性 q-差分系统的伽罗华 D-群丛推广至线性 q-差分方程。
• 将 Gal(M) 与 Gal^D(M) 与其他文献中的伽罗华群（包括 [HS08] 与 [Mal09] 中的群）进行比较。
• 将 Gal^D(M) 的维数与 q-差分模 M 的解之间的微分关系联系起来。

提出的方法

• 依据 Katz 的框架，为 K(x) 上的 q-差分模 M 定义一般伽罗华群 Gal(M)。
• 在特征零下，将一般微分伽罗华群 Gal^D(M) 定义为 Kolchin 微分代数群。
• 在正特征下使用可约化技术分析 Gal(M) 的结构。
• 为非线性 q-差分系统构造伽罗华 D-群丛，并证明其对 Gal^D(M) 的推广。
• 通过特殊化与模有限素理想的约化，将 Gal(M) 与 Gal^D(M) 与其他伽罗华群进行比较。
• 利用微分代数技术，将 Gal^D(M) 的维数与 M 的解之间的微分依赖关系联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 q 为超越或代数元时，Grothendieck 的 p-曲率猜想在 K(x) 上的 q-差分方程中的完整类比是什么？
• RQ2 在特征零下，一般伽罗华群 Gal(M) 与一般微分伽罗华群 Gal^D(M) 之间有何关系？
• RQ3 非线性 q-差分系统伽罗华 D-群丛如何推广线性系统下的微分伽罗华群 Gal^D(M)？
• RQ4 在 q 的特殊化或模有限素理想约化下，Gal(M) 与 Gal^D(M) 群的行为如何？
• RQ5 Gal^D(M) 的维数与 M 的解之间微分关系的数量之间存在何种精确关系？

主要发现

• 本文为 K(x) 上的 q-差分方程提供了 Grothendieck 的 p-曲率猜想的完整类比解法，将 [DV02] 中的先前结果推广至更广的域。
• 在特征零下，一般微分伽罗华群 Gal^D(M) 的维数等于 q-差分模 M 的解之间代数独立的微分关系的数量。
• 非线性 q-差分系统伽罗华 D-群丛推广了一般微分伽罗华群 Gal^D(M)，统一了线性与非线性系统的伽罗华理论。
• 当 q=1 时，q-差分方程退化为数域上或正特征下的微分方程，此时伽罗华群恢复为这些情形下已知的微分伽罗华群。
• 在特殊化或模有限素理想约化下，Gal(M) 与 Gal^D(M) 群与相应特殊化或约化方程的伽罗华群相容。
• 在正特征下，本文建立了关于一般伽罗华群的可约化结果，使得可通过逐层商群分析该群的结构。