[论文解读] Algebraic combinatorial Fourier and Legendre transforms with applications in perturbative quantum field theory

D. M. Jackson, Achim Kempf+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过形式幂级数环，引入了傅里叶变换与勒让德变换的代数与组合形式，以解决微扰量子场论（QFT）中分析上的未定义问题。通过仅作用于幂级数系数，即使费曼图生成级数发散，变换仍保持良好定义，提供了一个稳健的代数框架，解释了尽管存在分析上的不足，QFT 预测为何仍能成功。

ABSTRACT

Curiously, the predictions of the standard model of particle physics are highly successful in spite of the fact that several parts of the underlying quantum field theoretical framework are analytically problematic. Indeed, it has long been suggested, by Einstein, Schrodinger and others, that analytic problems in the formulation of fundamental laws could be overcome by reformulating these laws without reliance on analytic methods namely, for example, algebraically. In this spirit, we focus here on the analytic ill-definedness of the quantum field theoretic Fourier and Legendre transforms of the generating series of Feynman graphs, including the path integral. To this end, we develop here purely algebraic and combinatorial formulations of the Fourier and Legendre transforms, employing rings of formal power series. These are all-purpose transform methods, i.e., their applicability is not restricted to QFT. When applied in QFT to the generating functionals of Feynman graphs, the new transforms are well defined and thereby help explain the robustness and success of the predictions of perturbative QFT in spite of analytic difficulties. Technically, we overcome here the problem of the possible divergence of the various generating series of Feynman graphs by constructing Fourier and Legendre transforms of formal power series that operate in a well defined way on the coefficients of the power series irrespective of whether or not these series converge. In contrast, the use of formal power series in QFT by Bogolubov, Hepp, Parasiuk and Zimmermann concerned a different kind of divergencies, namely the UV divergencies of loop integrals and their renormalization. Our new methods could provide new algebraic and combinatorial perspectives on QFT structures that are conventionally thought of as analytic in nature, such as the occurrence of anomalies from the path integral measure.

研究动机与目标

• 解决费曼图生成级数的量子场论傅里叶与勒让德变换在分析上的未定义问题。
• 发展代数与组合形式的替代变换，避免对收敛性的依赖。
• 提供一个仅作用于幂级数系数的、良好定义的QFT变换框架。
• 为传统上被视为本质上分析性的结构（如路径积分测度引起的异常）提供新的代数视角。

提出的方法

• 使用形式幂级数环作为定义变换的基础代数结构。
• 将傅里叶与勒让德变换重新定义为作用于形式幂级数系数，独立于级数的收敛性。
• 通过组合操作对级数系数构造变换，确保即使在发散情况下仍保持良好定义。
• 该方法可推广至任何涉及生成函数的场景，不仅限于QFT。
• 该方法避免使用传统的紫外发散重整化技术，转而关注变换定义中的解析性问题。
• 该框架使得费曼图生成泛函的一致操作成为可能，而无需依赖底层级数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当费曼图生成级数发散时，如何以代数方式重新定义傅里叶与勒让德变换，使其保持良好定义？
• RQ2 何种代数结构可替代QFT中的分析变换，同时保持物理一致性？
• RQ3 形式幂级数变换能否解释尽管存在分析病态，微扰QFT预测仍表现出鲁棒性的原因？
• RQ4 代数变换在何种方式下揭示了诸如路径积分测度引起的异常等分析上存在问题的结构的新见解？
• RQ5 与传统分析形式相比，这些代数变换在数学严谨性与适用性方面有何异同？

主要发现

• 所提出的代数傅里叶与勒让德变换在形式幂级数上良好定义，即使级数发散亦然。
• 变换仅作用于系数，消除了对生成级数收敛性的依赖。
• 该方法提供了一个稳健的框架，解释了尽管标准形式存在分析问题，微扰QFT预测为何仍能成功。
• 该方法为此前被视为本质上分析性的结构（如路径积分测度中的异常）提供了新的代数解释。
• 变换是通用工具，可扩展至QFT以外的任何生成函数相关场景。
• 该框架补充而非替代传统重整化，解决的是不同类别的分析问题——即变换定义中的问题，而非环积分中的问题。