[论文解读] Algebraic models for higher categories

Thomas Nikolaus|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在模型范畴中引入代数纤维对象，构造了这些对象上的组合模型结构。它提出了代数Kan复形和代数准范畴，分别作为∞-群胚和(∞,1)-范畴的代数模型，并通过 simplicial sets 与代数Kan复形之间的 Quillen 等价性，证明了同伦假设。

ABSTRACT

We introduce the notion of algebraic fibrant objects in a general model category and establish a (combinatorial) model category structure on algebraic fibrant objects. Based on this construction we propose algebraic Kan complexes as an algebraic model for oo-groupoids and algebraic quasi-categories as an algebraic model for (oo,1)-categories. We furthermore give an explicit proof of the homotopy hypothesis.

研究动机与目标

• 在一般模型范畴中发展代数纤维对象的框架，解决标准模型范畴中纤维对象的非代数性和不可处理性。
• 通过为Kan复形指定填充，解决其非唯一复合和缺乏余极限的局限性，从而得到代数Kan复形。
• 将代数准范畴确立为(∞,1)-范畴的可处理模型，类似于代数Kan复形对∞-群胚的建模。
• 在代数设定下证明同伦假设，表明代数Kan复形在等价意义下对∞-群胚进行建模。
• 将构造推广到其他模型范畴，包括Joyal在simplicial sets上的模型结构，并建议在(∞,1)-operads和∞-层上的应用。

提出的方法

• 将模型范畴 C 中的代数纤维对象定义为配备所有提升问题填充选择的纤维对象，形成范畴 AlgC。
• 通过 C 上的单子 T 证明 AlgC 在 C 上是单子的，利用单子性定理确保范畴 AlgC 继承良好的范畴性质。
• 通过从 C 上的模型结构上拉提升，构造 AlgC 上的组合模型结构，确保所有对象均为纤维对象且(共)极限存在。
• 证明 C 到 AlgC 的包含映射是 Quillen 等价，表明 AlgC 表示与 C 相同的(∞,1)-范畴。
• 将一般构造应用于具有 Quillen 和 Joyal 模型结构的 simplicial sets，得到代数Kan复形和代数准范畴。
• 定义从代数准范畴到代数Kan复形的遗忘函子 V，并构造其左伴随 G，证明 (G,V) 构成 Quillen 伴随对。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为模型范畴中的纤维对象赋予代数结构（即指定填充），以得到一个良好行为的高阶范畴代数模型？
• RQ2 模型范畴中代数纤维对象的范畴是否与原始模型范畴 Quillen 等价？
• RQ3 代数Kan复形的构造是否提供了有效的、代数化的∞-群胚模型，并满足同伦假设？
• RQ4 代数纤维对象的一般框架能否扩展到其他模型范畴，如(∞,1)-范畴或∞-层的模型？
• RQ5 代数准范畴与代数Kan复形之间的关系是什么？该关系能否用于证明一个改进的同伦假设？

主要发现

• 模型范畴 C 中代数纤维对象的范畴具有组合模型结构，使其成为由 C 所呈现的(∞,1)-范畴的良好模型。
• 代数Kan复形构成一个局部可生成的范畴，具有所有小极限和余极限，解决了Kan复形范畴的一个关键局限性。
• 从代数Kan复形到 simplicial sets 的遗忘函子是 Quillen 等价，确立了代数Kan复形对∞-群胚的建模。
• 在代数设定下，同伦假设成立：空间的基本∞-群胚与其代数Kan复形模型等价。
• 代数准范畴的范畴通过左伴随函子 G 与代数Kan复形的范畴 Quillen 等价，且 G 保持弱等价。
• 由 C 与 AlgC 之间的伴随关系导出的纤维化替换单子 T，为同伦论构造中的图示提供了系统化的代数替换方法。