[论文解读] Categorified Algebra and Equivariant Homotopy Theory

John D. Berman|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本文利用对称单一路径和半环∞-范畴的范畴化代数框架，研究范畴作为代数对象，证明了有限集范畴 Fin 上的模是cocartesian单一路径∞-范畴，而 Burn 上的模是加法∞-范畴。本文证明了 Lawvere 理论可作为 Fin^op-模的循环模出现，从而在高阶范畴中实现代数化的 Yoneda 引理，并通过群论的 Eilenberg-Watts 定理为朴素与真实等变同伦理论之间存在形式对偶性提供了证据。

ABSTRACT

This dissertation comprises three collections of results, all united by a common theme. The theme is the study of categories via algebraic techniques, considering categories themselves as algebraic objects. This algebraic approach to category theory is central to noncommutative algebraic geometry, as realized by recent advances in the study of noncommutative motives. We have success proving algebraic results in the general setting of symmetric monoidal and semiring infinity categories, which categorify abelian groups and rings, respectively. For example, we prove that modules over the semiring category Fin of finite sets are cocartesian monoidal infinity categories, and modules over Burn (the Burnside infinity category) are additive infinity categories. As a consequence, we can regard Lawvere theories as cyclic Fin^op-modules, leading to algebraic foundations for the higher categorical study of Lawvere theories. We prove that Lawvere theories function as a home for an algebraic Yoneda lemma. Finally, we provide evidence for a formal duality between naive and genuine equivariant homotopy theory, in the form of a group-theoretic Eilenberg-Watts Theorem. This sets up a parallel between equivariant homotopy theory and motivic homotopy theory, where Burnside constructions are analogous to Morita theory. We conjecture that this relationship could be made precise within the context of noncommutative motives over the field with one element. In fact, the connections equivariant homotopy theory and the field with one element recur throughout the thesis. There are promising suggestions that each of these two subjects can be advanced by further work in this area of algebraic category theory.

研究动机与目标

• 通过范畴化的代数结构，为高阶范畴理论建立形式代数基础。
• 通过模理论构造，研究 Lawvere 理论在高阶范畴设定中的作用。
• 通过群论的 Eilenberg-Watts 定理，揭示朴素与真实等变同伦理论之间的对偶性。
• 将等变同伦理论与一个元素域上的非交换动机联系起来。
• 证明 Burnside ∞-范畴与有限集模分别产生加法与 cocartesian 单一路径结构。

提出的方法

• 使用对称单一路径和半环∞-范畴对阿贝尔群与环进行范畴化。
• 分析有限集范畴 Fin 上的模，证明其构成 cocartesian 单一路径∞-范畴。
• 研究 Burnside ∞-范畴上的模，证明其产生加法∞-范畴。
• 将 Lawvere 理论表示为 Fin^op 上的循环模，从而在高阶范畴中实现代数化的 Yoneda 引理。
• 提出群论的 Eilenberg-Watts 定理，以建模等变同伦理论中的对偶性。
• 在 motivic 同伦理论中，将 Burnside 构造与 Morita 理论类比，暗示其与一个元素域上非交换动机的深层联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴化的代数结构系统地将范畴研究为代数对象？
• RQ2 当 Lawvere 理论被表述为 Fin^op 上的模时，其在高阶范畴代数中的作用是什么？
• RQ3 能否通过群论的 Eilenberg-Watts 定理建立朴素与真实等变同伦理论之间的形式对偶性？
• RQ4 Burnside ∞-范畴如何通过模理论与加法∞-范畴相关联？
• RQ5 等变同伦理论与一个元素域上的非交换动机之间是否存在统一的潜力？

主要发现

• 证明了有限集范畴 Fin 上的模是 cocartesian 单一路径∞-范畴。
• 证明了 Burnside ∞-范畴上的模是加法∞-范畴。
• 识别出 Lawvere 理论为 Fin^op-模的循环模，从而在高阶范畴中实现代数化的 Yoneda 引理。
• 建立了群论的 Eilenberg-Watts 定理，为朴素与真实等变同伦理论之间存在形式对偶性提供了证据。
• 这些构造暗示了 Burnside 构造与 motivic 同伦理论中 Morita 理论之间存在深刻类比。
• 结果支持了如下猜想：通过此代数范畴论框架，等变同伦理论与一个元素域上的非交换动机可能实现统一。