[论文解读] Algebraic proof theory for LE-logics

Giuseppe Greco, Peter Jipsen+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 57被引用 4

一句话总结

本文通过引入功能性D-框架（functional D-frames）作为剩余框架（residuated frames）的推广，将代数证明理论扩展至正常的格扩张（normal lattice expansion, LE）逻辑，从而为显示演算D.LE及其带有解析归纳公理的扩展，实现了语义剪切消去（semantic cut elimination）与有限模型性质（FMP）的统一证明。关键贡献在于构建了一个统一框架，将证明论的剪切消去与代数性质（如MacNeille完备化和典范扩张）联系起来。

ABSTRACT

In this paper we extend the research programme in algebraic proof theory from axiomatic extensions of the full Lambek calculus to logics algebraically captured by certain varieties of normal lattice expansions (normal LE-logics). Specifically, we generalise the residuated frames in [34] to arbitrary signatures of normal lattice expansions (LE). Such a generalization provides a valuable tool for proving important properties of LE-logics in full uniformity. We prove semantic cut elimination for the display calculi D.LE associated with the basic normal LE-logics and their axiomatic extensions with analytic inductive axioms. We also prove the finite model property (FMP) for each such calculus D.LE, as well as for its extensions with analytic structural rules satisfying certain additional properties.

研究动机与目标

• 将代数证明理论从次结构逻辑推广至任意正常的LE-逻辑，扩展剪切消去与有限模型性质的结果。
• 建立证明论性质（剪切消去、FMP）与代数性质（MacNeille完备化、典范扩张）之间统一的联系。
• 将剩余框架推广为适用于任意正常格扩张签名的功能性D-框架。
• 证明解析归纳公理可安全地添加至D.LE演算中而不破坏剪切消去。
• 利用对偶理论与典范扩张，为二值与多值LE-逻辑提供统一的元逻辑结果框架。

提出的方法

• 引入功能性D-frames作为剩余框架的推广，其中连通词的关系为函数关系，从而为任意LE签名提供代数语义。
• 从基于极对的关联结构（D-frames）构造复合代数，推广了模态逻辑中的复合代数构造。
• 利用典范扩张与解析归纳不等式的构造性典范性，建立语义剪切消去。
• 证明解析结构规则的有效性从D-frames到其复合代数的保全性，从而确保D.LE演算中的剪切消去。
• 应用有限可嵌入性与D-框架构造，证明D.LE及其带有解析结构规则的扩展的有限模型性质（FMP）。
• 利用对偶理论与广义Sahlqvist框架，统一LE-逻辑中证明论、代数与语义结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将子结构逻辑的代数证明理论框架扩展至全Lambek演算之外的任意正常LE-逻辑？
• RQ2 如何将剩余框架推广以支持正常格扩张的任意签名？
• RQ3 功能性D-框架在捕捉显示演算剪切消去的语义角色是什么？
• RQ4 在何种条件下，解析归纳公理能保持D.LE演算中的剪切消去？
• RQ5 能否为D.LE演算及其带有解析结构规则的扩展，统一建立有限模型性质？

主要发现

• 通过D-框架到其复合代数的有效性保全性，为显示演算D.LE及其带有解析归纳公理的扩展，建立了语义剪切消去。
• 通过有限可嵌入性与D-框架构造，证明了D.LE演算及其满足附加条件的解析结构规则扩展的有限模型性质（FMP）。
• 引入功能性D-框架作为剩余框架的推广，实现了对任意正常格扩张签名的统一处理。
• 从基于极对的D-框架构造复合代数，推广了MacNeille完备化，并为剪切消去提供了代数语义基础。
• D-框架的典范扩张确保了解析归纳不等式的构造性典范性，这是证明剪切消去与FMP的关键。
• 该框架统一了二值与多值LE-逻辑中的证明论、代数与语义结果，实现了元逻辑性质的参数化证明。