[论文解读] Algebraic Relaxations and Hardness Results in Polynomial Optimization and Lyapunov Analysis

Amir Ali Ahmadi|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 141被引用 30

一句话总结

本文確立了多項式優化與動態系統中凸性與穩定性判定的計算複雜度。證明了對於四次或更高次多項式，測試凸性、嚴格凸性、擬凸性與偽凸性為強 NP-困難，而奇次多項式的情況則可在多項式時間內判定。主要貢獻在於完整描述凸多項式與平方和（sos）凸多項式一致的條件——僅在非負多項式為平方和之時成立，此結果符合希爾伯特於 1888 年的定理。

ABSTRACT

This thesis settles a number of questions related to computational complexity and algebraic, semidefinite programming based relaxations in optimization and control.

研究动机与目标

• 確定多變量多項式凸性及其相關性質（嚴格凸性、擬凸性、偽凸性）的計算複雜度。
• 特徵化凸性與 sos-凸性之間的關係——基於平方和表達的代數放鬆。
• 發展並分析使用李雅普諾夫函數來證明非線性與不確定動態系統穩定性的計算技術。
• 提出基於路徑-封閉圖李雅普諾夫函數的統一框架，以近似切換線性系統的聯合譜半徑。
• 建立反向李雅普諾夫定理與使用半定規劃進行穩定性分析的近似保證。

提出的方法

• 透過已知 NP-困難問題的歸約，證明四次或更高次多項式凸性及其相關性質判定的強 NP-困難性。
• 以平方和（sos）規劃形式化凸性的三種等價代數放鬆：基於定義、一階條件與二階條件。
• 利用代數幾何與多項式優化技術，構造凸多項式但非 sos-凸多項式的明確反例。
• 引入路徑-封閉圖李雅普諾夫函數，其中李雅普諾夫不等式與標籤有向圖中的路徑相關，進而可透過半定規劃進行穩定性分析。
• 證明對於平面或齊次多項式向量場，當允許提高次數時，存在多項式李雅普諾夫函數即意味存在 sos-凸函數。
• 推導使用路徑-封閉圖族對聯合譜半徑的近似保證，包含與真實 JSR 相差 $1/\sqrt[4]{n}$ 的乘法因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 判定四次多項式凸性是否計算上困難？若是，其確切複雜度為何？
• RQ2 在哪些維度與次數下，凸多項式與 sos-凸多項式一致？
• RQ3 是否存在全局漸近穩定的多項式向量場，卻無法存在多項式李雅普諾夫函數？
• RQ4 固定次數的平方和規劃是否可能無法找到有效的李雅普諾夫函數，即使其存在？
• RQ5 路徑-封閉圖李雅普諾夫函數能否提供對聯合譜半徑的可證明良好近似？

主要发现

• 判定四次或更高次偶次多項式的凸性、嚴格凸性、擬凸性與偽凸性為強 NP-困難。
• 奇次多項式的擬凸性與偽凸性可於多項式時間內判定。
• 本文首次構造出凸多項式但非 sos-凸多項式的例子，顯示凸性與 sos-凸性之間存在嚴格差距。
• 凸多項式與 sos-凸多項式一致，當且僅當 $n=1$ 或 $d=2$ 或 $(n,d)=(2,4)$（對於多項式），以及 $n=2$ 或 $d=2$ 或 $(n,d)=(3,4)$（對於齊次形式）——此結果與希爾伯特於 1888 年對非負多項式的特徵化一致。
• 存在一個無全局漸近穩定的三次齊次向量場，且其不存在多項式李雅普諾夫函數，顯示此類函數並非總是存在。
• 對於平面或齊次多項式向量場，當允許提高次數時，存在多項式李雅普諾夫函數即意味存在 sos-凸函數，進而可透過半定規劃有效搜尋。