[论文解读] Algebraic representations and constructible sheaves

Geordie Williamson|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在正特征下研究半单代数群模表示理论的几何方法，通过Finkelberg-Mirković猜想将表示与构造层联系起来，并利用$p$-典范基和奇偶层提出了一个关于倾斜模的新特征公式。关键贡献是一个猜想框架（对$\mathrm{GL}_n$已证明），将$p$-Kazhdan-Lusztig多项式与倾斜模的特征公式联系起来，为Lusztig特征公式提供了一种计算上可行的替代方案。

ABSTRACT

These are notes for my Takagi lecture at the University of Tokyo in November, 2016. I survey what is known about simple modules for reductive algebraic groups. The emphasis is on characteristic p>0 and Lusztig's character formula. I explain ideas connecting representations and constructible sheaves (Finkelberg-Mirkovic conjecture) in the spirit of the Kazhdan-Lusztig conjecture. I also discuss a conjecture with S. Riche (a theorem for GL_n) which should eventually make computations more feasible.

研究动机与目标

• 建立正特征下半单群的代数表示与仿射格拉斯曼流形上构造层之间的概念性桥梁。
• 通过将问题与局部积分交叠上同调群中的挠类联系起来，解决Lusztig特征公式在哪些素数$p$下成立的开放问题。
• 利用$p$-典范基和奇偶层，发展一种计算上可行的倾斜模特征公式，替代难以计算的交叠上同调 stalks。
• 提供一个统一模表示理论与几何朗兰兹纲领的框架，将Kazhdan-Lusztig范式推广至正特征。

提出的方法

• 利用Finkelberg-Mirković猜想，将$G$的表示与Langlands对偶群$G^\vee$的仿射格拉斯曼流形上的 perverse 层（系数在正特征域中）联系起来。
• 应用Koszul对偶，将仿射Hecke代数的$p$-典范基与奇偶层联系起来，从而实现倾斜模特征的计算。
• 以几何Satake等价性作为基础工具，将表示实现为仿射格拉斯曼流形上的等变层。
• 利用仿射Weyl群上的$p$-膨胀点作用定义基本域和表示范畴中的块。
• 应用奇偶层理论——具有奇偶性消失条件的层——来替代正特征下难以计算的交叠上同调复形。
• 利用扩展主块$\mathrm{Rep}_0^{\mathrm{ext}}$和仿射格拉斯曼流形上的卷积结构，定义Hecke范畴及其在表示上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lusztig特征公式在哪些素数$p$下成立？其在小特征下失效的控制因素是什么？
• RQ2 Finkelberg-Mirković猜想能否用于推导出正特征下所有单模的统一特征公式？
• RQ3 在正特征下，如何使倾斜模特征的计算变得可行，以应对交叠上同调 stalks 的不可计算性？
• RQ4 $p$-Kazhdan-Lusztig多项式与仿射Hecke代数中$p$-典范基之间的精确关系是什么？
• RQ5 局部积分交叠上同调群中的挠类如何影响Lusztig特征公式的有效性？

主要发现

• 与S. Riche的猜想（已在$\mathrm{GL}_n$上证明）提供了一种基于$p$-典范基的倾斜模特征公式，为Lusztig公式的计算提供了可行替代方案。
• $p$-典范基自然源自仿射格拉斯曼流形和奇偶层的几何结构，并在正特征下控制倾斜模的特征。
• Finkelberg-Mirković猜想蕴含Lusztig特征公式在大$p$时成立，且将该公式的有效性问题归结为控制局部积分交叠上同调群中的挠类。
• 通过$p$-典范基定义的$p$-Kazhdan-Lusztig多项式，为模表示理论中普通Kazhdan-Lusztig多项式的替代品。
• 该定理表明，倾斜模的特征可表示为反球对称$p$-Kazhdan-Lusztig多项式的和，从而导出大$p$时Lusztig猜想的成立。
• 通过奇偶层和$p$-典范基的框架被证明与Finkelberg-Mirković猜想对偶，提示模表示理论背后存在深层的几何-普遍结构。