[论文解读] Algebraic structures on typed decorated rooted trees

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文引入并研究了在带类型、带装饰的根树上定义的代数结构，推广了组合 Hopf 代数中的关键构造。研究证明，此类树的构成空间形成一个多重 pre-Lie 代数，通过 Guin-Oudom 和 Connes-Kreimer 类型的函子构建了相关的 Hopf 代数，并证明 Bruned-Hairer-Zambotti 的重整化框架是这些结构的子商，统一并拓展了该领域先前的结果。

ABSTRACT

Typed decorated trees are used by Bruned, Hairer and Zambotti to give a description of a renormalisation processon stochastic PDEs. We here study the algebraic structures on these objects: multiple prelie algebrasand related operads (generalizing a result by Chapoton and Livernet), noncommutative and cocommutative Hopf algebras (generalizing Grossman and Larson's construction),commutative and noncocommutative Hopf algebras (generalizing Connes and Kreimer's construction),bialgebras in cointeraction (generalizing Calaque, Ebrahimi-Fard and Manchon's result). We also define families of morphisms and in particular we prove that any Connes-Kreimer Hopf algebraof typed and decorated trees is isomorphic to a Connes-Kreimer Hopf algebra of non--typed and decoratedtrees (the set of decorations of vertices being bigger), through a contraction process,and finally obtain the Bruned-Hairer-Zambotti construction as a subquotient.

研究动机与目标

• 开发用于随机 PDE 重整化中带类型、带装饰的根树的普遍代数框架。
• 将 pre-Lie 代数和 Hopf 代数的构造（例如 Grossman-Larson、Connes-Kreimer）推广到带类型、带装饰的情形。
• 证明 Bruned-Hairer-Zambotti 重整化构造是该框架的子商。
• 建立不同参数选择下 Hopf 代数之间的同构关系，表明结构的鲁棒性。

提出的方法

• 为每种类型 t 定义接枝运算 ‚t，使得带类型、D-装饰的树构成一个 T-多重 pre-Lie 代数。
• 使用 Guin-Oudom 构造将 pre-Lie 乘积提升为森林对称代数上的 Hopf 代数结构。
• 通过一个余作用双代数框架构造对偶 Hopf 代数，推广了 Calaque-Ebrahimi-Fard-Manchon 的结果。
• 引入一个收缩-提取余乘积 δ，以建模 Bruned-Hairer-Zambotti 的构造。
• 证明任意带类型的树的 Connes-Kreimer Hopf 代数，可通过收缩过程同构于使用更大装饰集的非带类型树的 Hopf 代数。
• 利用非结合性置换余乘积和 Livernet 的刚性定理，证明在参数变化下同构关系的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地将带类型情形下的代数结构从非带类型情形推广？
• RQ2 多重 pre-Lie 代数及其运算子与带类型树的组合结构有何关系？
• RQ3 Bruned-Hairer-Zambotti 重整化框架是否是更一般代数构造的自然子商？
• RQ4 由不同参数选择（λ）构造的 Hopf 代数是否同构？这对重整化不变性意味着什么？
• RQ5 能否通过收缩过程将带类型树上的 Connes-Kreimer Hopf 代数简化为非带类型树上的 Hopf 代数？

主要发现

• T-类型、D-装饰的根树构成空间形成一个自由的 T-多重 pre-Lie 代数，推广了 Chapoton-Livernet 的结果。
• T-多重 pre-Lie 代数的运算子由 T-类型、索引化的树组合描述。
• 通过 Guin-Oudom 构造得到的 Hopf 代数 HGLλD,T 推广了 Grossman-Larson 代数至带类型情形。
• 对偶 Hopf 代数 HCKλD,T 推广了 Connes-Kreimer 代数，并满足 Hochschild 上同调的普遍性质。
• 对于任意非零 λ，Hopf 代数 HGLλD,T 和 HCKλD,T 同构于任意其他非零参数下的相应代数，表明其结构不变性。
• Bruned-Hairer-Zambotti 双代数构造被实现为所构建 Hopf 代数框架的子商，统一了重整化过程。