[论文解读] Algebraic structures associated to operads

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 31被引用 12

一句话总结

本文建立了一个全面的框架，通过操作符复合将操作代数与预李代数、括号代数、双代数及霍普夫代数等代数结构联系起来。研究表明，任意操作代数 P 在其余不变商代数上诱导出一个预李代数，从而产生其包络代数和特征的幺半群；当 P 允许从 b∞ 操作代数出发的态射时，进一步产生余作用的双代数，统一了费曼图、偏序集和定向图中的已知例子，均源于同一操作代数构造。

ABSTRACT

We study different algebraic structures associated to an operad and their relations: to any operad $\mathbf{P}$ is attached a bialgebra,the monoid of characters of this bialgebra, the underlying pre-Lie algebra and its enveloping algebra; all of them can be explicitely describedwith the help of the operadic composition. non-commutative versions are also given. We denote by $\mathbf{b\_\infty}$ the operad of $\mathbf{b\_\infty}$ algebras, describing all Hopf algebra structures on a symmetric coalgebra.If there exists an operad morphism from $\mathbf{b\_\infty}$ to $\mathbf{P}$, a pair $(A,B)$ of cointeracting bialgebras is also constructed, that it to say:$B$ is a bialgebra, and $A$ is a graded Hopf algebra in the category of $B$-comodules. Most examples of such pairs (on oriented graphs, posets$\ldots$) known in the literature are shown to be obtained from an operad; colored versions of these examples andother ones, based on Feynman graphs, are introduced and compared.

研究动机与目标

• 通过操作代数复合，系统地从任意操作代数推导出代数结构——预李代数、括号代数、双代数、霍普夫代数。
• 在单一操作代数框架下统一各类组合霍普夫代数（例如来自费曼图、偏序集、定向图的构造）。
• 证明从 b∞ 到 P 的操作代数态射诱导出余作用的双代数，推广了量子场论与组合学中的已知构造。
• 通过指数映射和包络代数，显式实现特征的幺半群及其在特征群上的作用。

提出的方法

• 通过部分操作代数复合定义操作代数 P 的余不变商代数上的预李积：p • q = ∑ᵢ p∘ᵢ q，其中 p ∈ P(n)，q ∈ P。
• 通过迭代操作代数复合在 ∏ₙ≥₀ P(n) 上构造幺半群结构 ◊ 和 ◊′，并证明二者同构。
• Guin-Oudom 构造为对称代数 S(P) 赋予一个枝形代数与霍普夫代数结构，从而导出霍普夫代数 D_P。
• 显式实现预李代数 coinv P 的包络代数为 D_P，并给出从 S(P) 到 D_P 的典范满射。
• 对于存在态射 θ_P: b∞ → P 的操作代数 P，该构造产生一对 (A_P, D_P) 的余作用双代数，其中 A_P 是 D_P- comodule 类别中的霍普夫代数。
• D_P* 的特征幺半群作用于 A_P* 的特征群，且同构于自由 P-代数上的恒等映射切触的正式微分同胚群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过操作代数的复合系统地从操作代数推导出预李代数与括号代数等代数结构？
• RQ2 与操作代数相关联的双代数的特征幺半群与其实现代数包络代数的特征群之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种条件下，操作代数 P 会导出一对余作用双代数？这一构造如何推广量子场论中的已知结果？
• RQ4 从 b∞ 到 P 的操作代数态射如何在自由 P-代数上的对称代数与张量代数上诱导出霍普夫代数结构？
• RQ5 b∞ 操作代数在分类对称余代数上的所有可能霍普夫代数结构中起何作用？

主要发现

• 任意操作代数 P 的余不变商代数 coinv P 通过部分操作代数复合继承预李代数结构，其积定义为 p • q = ∑ᵢ p∘ᵢ q。
• 幺半群 (P, ◊) 与 (P, ◊′) 同构，其在余不变关系下的商映射给出 coinv P 上的幺半群结构。
• 对称代数 S(P) 通过 Guin-Oudom 构造赋予霍普夫代数结构，其积 * 通过迭代操作代数复合显式定义。
• 霍普夫代数 D_P 同构于预李代数 coinv P 的包络代数，且存在从 S(P) 到 D_P 的典范满射。
• 当存在态射 θ_P: b∞ → P 时，构造产生一对 (A_P*, D_P*) 的余作用双代数，其中 A_P* 是 D_P*-comodule 类别中的霍普夫代数。
• D_P* 的特征幺半群 M_D^P 作用于 A_P* 的特征群 G_A^P，且同构于自由 P-代数 F_P(V) 上的连续自同态群，其切触于恒等映射。