[论文解读] Algebraic Theories and (Infinity,1)-Categories

James Cranch|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文利用准范畴构建了$(\infty,1)$-范畴的代数框架，将Lawvere的代数理论推广至同伦 coherent 代数结构（如$E_\infty$幺半群和半环）的模型。它引入了准范畴中的分配律理论以建模$E_\infty$环空间，提出了一种新的连通谱与$K$-理论方法，并以新方法重新证明了关于环谱单位和张量范畴准范畴$K$-理论的关键结果。

ABSTRACT

We adapt the classical framework of algebraic theories to work in the setting of (infinity,1)-categories developed by Joyal and Lurie. This gives a suitable approach for describing highly structured objects from homotopy theory. A central example, treated at length, is the theory of E_infinity spaces: this has a tidy combinatorial description in terms of span diagrams of finite sets. We introduce a theory of distributive laws, allowing us to describe objects with two distributing E_infinity stuctures. From this we produce a theory of E_infinity ring spaces. We also study grouplike objects, and produce theories modelling infinite loop spaces (or connective spectra), and infinite loop spaces with coherent multiplicative structure (or connective ring spectra). We use this to construct the units of a grouplike E_infinity ring space in a natural manner. Lastly we provide a speculative pleasant description of the K-theory of monoidal quasicategories and quasicategories with ring-like structures.

研究动机与目标

• 将经典代数理论推广至同伦设定，利用准范畴建模具有相干高阶同伦的代数结构。
• 通过$Δ$-跨度构造中的分配律，建立准范畴框架以建模$E_\infty$幺半群与半环。
• 通过张量范畴准范畴理论的群完备化，构建连通谱与连通环谱的新模型。
• 为张量与环准范畴构建$K$-理论框架，提供一种替代Elmendorf-Mandell方法的方案。
• 利用新的准范畴形式化，重新提供并推导关于环谱单位与$K$-理论的关键结果。

提出的方法

• 使用准范畴作为$(\infty,1)$-范畴的模型，借助Joyal与Lurie通过单纯集建立的$(\infty,1)$-范畴理论。
• 引入$Δ$-跨度准范畴$Δ\mathrm{Span}$以建模$E_\infty$幺半群，其扩展$Δ\mathrm{RSpan}$则通过分配律建模$E_\infty$半环。
• 应用Lawvere对称张量范畴的理论，构建交换代数对象的准范畴模型。
• 使用$B$-函子执行$Ω$-群胚完备化，再通过群完备化$Q$定义准范畴理论模型的$K$-理论。
• 运用伴随函子定理及准范畴中的同伦极限/同伦余极限，建立构造的表示性与函子性。
• 在准范畴中使用神经构造与映射柱，以建模高阶代数结构与自然变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典代数理论推广至$(\infty,1)$-范畴，以建模同伦 coherent 代数结构？
• RQ2 分配律的准范畴类比是什么？它如何用于建模$E_\infty$半环？
• RQ3 能否通过$E_\infty$理论的准范畴群完备化，构建连通谱与连通环谱的新模型？
• RQ4 所提出的张量准范畴$K$-理论构造与Elmendorf-Mandell等现有框架相比如何？
• RQ5 能否利用此准范畴框架重构环谱单位？其是否能恢复Ando等人等已知结果？

主要发现

• 本文构建了准范畴理论$Δ\mathrm{RSpan}$，通过$Δ$-跨度构造中的分配律，成功建模$E_\infty$半环空间。
• 通过准范畴理论的群完备化，提出了对拟群$E_\infty$幺半群（连通谱）与$E_\infty$环空间（连通环谱）的新模型。
• $K$-理论的定义为$K(A) = Q(B(A))$，其中$B$为$\infty$-群胚完备化，$Q$为群完备化，从而得到取值于空间的$K$-理论函子。
• 该构造将向量空间的$K$-理论作为$\mathrm{RSpan}$的模型，为乘法$K$-理论提供了新框架。
• 该框架以准范畴方法重新证明了Ando、Blumberg、Gepner、Hopkins与Rezk最初证明的关于环谱单位的定理。
• 本文猜想其乘法$K$-理论结构与Elmendorf与Mandell的结构一致，但尚未完全证明。