[论文解读] Algebras of Fractions and Strict Positivstellensätze for *-Algebras

Konrad Schmuedgen|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种使用分式代数和 $*$-代数的希尔伯特空间表示来研究非交换严格 Positivstellens"atze 的通用框架。它建立了在 $*$-代数中将正元素表示为共轭平方和的抽象准则，并将该方法应用于魏尔代数和仿射李代数的包络代数，通过预解条件和多分次工具，获得了新的可积性准则和正性定理。

ABSTRACT

In this paper we investigate a *-algebra $\cX$ of fractions associated with a unital complex *-algebra $\cA$. The algebra $\cX$ and its Hilbert space representations are used to prove abstract noncommutative strict Positivstellensätze for $\cA$. Multi-grading of $\cA$ are studied as technical tools to verify the assumptions of this theorem. As applications we obtain new strict Positivstellensätze for the Weyl algebra and for the Lie algebra $\cg$ of the affine group of the real line. We characterize integrable representations of the Lie algebra $\cg$ in terms of resolvents of the generators and derive a new integrability criterion for representations of $\cg$.

研究动机与目标

• 开发一种使用分式代数和表示方法来证明 $*$-代数中非交换严格 Positivstellens"atze 的通用方法。
• 通过预解条件和分式代数，刻画仿射群的李代数 $\mathfrak{g}$ 的可积表示。
• 使用抽象准则和多分次技术，为魏尔代数和 $\mathfrak{g}$-包络代数建立新的正性定理。
• 为 $\mathfrak{g}$ 的表示提供一种新的可积性准则，类似于卡托对标准对易关系的定理。

提出的方法

• 从一个含单位元的 $*$-代数 $\mathcal{A}$ 出发，利用一个 $*$-不变的左欧氏集 $\mathcal{S}_O$ 和一个可数子半群 $\mathcal{S}$，构造一个 $*$-分式代数 $\mathfrak{X}$。
• 利用 $\mathfrak{X}$ 的有界 $*$-表示 $\rho$，且满足 $\rho$ 在 $s^{-1}$ 上的核为平凡，从而诱导出 $\mathcal{A}$ 的无界 $*$-表示 $\pi_\rho$。
• 应用一个抽象的严格 Positivstellensatz（定理 3），该定理要求 $\mathfrak{X}$ 的代数有界性，且 $\mathfrak{X}$ 在内自同构 $\alpha_s(\cdot) = s\cdot s^{-1}$ 下不变。
• 利用 $\mathcal{A}$ 的多分次结构来验证定理 3 的假设，特别是针对魏尔代数和 $\mathfrak{g}$-包络代数的情形。
• 证明：若对所有不可约表示 $\rho$ 和所有 $s \in \mathcal{S}_G$，均有 $\pi_\rho(c)$ 和 $\rho_s(t^{-1}c(t^*)^{-1})$ 严格正，则 $scs^* \in \sum \mathcal{A}^2$。
• 将该框架应用于魏尔代数，其分母集由 $p \pm \alpha i, q \pm \beta i$ 生成；并应用于 $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$，其中 $\mathcal{S}_G = \{i\sf a \pm (\alpha + n)i, i\sf b \pm \beta i\}$，$\alpha < -1$，$\beta \neq 0$，$\alpha \notin \mathbb{Z}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$*$-代数 $\mathcal{A}$ 中的正元素 $c$ 可以表示为共轭平方的有限和？
• RQ2 分式代数 $\mathfrak{X}$ 如何用于从 $\mathfrak{X}$ 的有界表示构造 $\mathcal{A}$ 的无界 $*$-表示？
• RQ3 多分次在验证抽象严格 Positivstellensatz 的假设中起什么作用？
• RQ4 预解条件和商代数 $\mathfrak{X}_s$ 中相关算子的正性如何确保 $scs^*$ 是平方和？
• RQ5 如何利用分式代数和正性，为仿射群的李代数 $\mathfrak{g}$ 的表示导出新的可积性准则？

主要发现

• 对于魏尔代数 $\mathcal{W}(1)$，若 $c = c^*$ 是一个共轭元素，且对所有不可约表示 $\rho$ 和所有 $s \in \mathcal{S}_G = \{p \pm \alpha i, q \pm \beta i\}$，均有 $\pi_\rho(c) > 0$ 且 $\rho_s(t^{-1}c(t^*)^{-1}) > 0$，则存在某个 $s \in \mathcal{S}_O$，使得 $scs^* \in \sum \mathcal{W}(1)^2$。
• 对于仿射李代数 $\mathfrak{g}$ 的包络代数 $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$，若 $c = c^*$ 的多次数为 $(2m_1, 2m_2)$，且对所有不可约酉表示 $U$ 和函数 $f_{2m_2}(\cdot + m_2 i), g_{2m_1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上为正，有 $dU(c) \geq T_U > 0$，则存在某个 $s \in \mathcal{S}$，使得 $s^*cs \in \sum \mathcal{E}(\mathfrak{g})^2$。
• 本文建立了 $\mathfrak{g}$ 表示的新可积性准则：一个表示是可积的，当且仅当其生成元的预解算子在分式代数 $\mathfrak{X}$ 中满足特定的正性和有界性条件。
• 通过 $\ker \rho(s^{-1}) = \{0\}$ 从 $\rho$ 构造 $\pi_\rho$ 的方法，为 $\mathcal{A}$ 的良好行为无界表示提供了系统性的生成方式。
• 多分次的使用使得能够验证定理 3 的关键假设，特别是在魏尔代数和 $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ 的情形下，通过分析元素在度映射 $d(c) = (d_1, d_2)$ 下的结构。
• 结果将卡托对标准对易关系的可积性定理推广到仿射李代数的情形，提供了一种基于商代数中相关算子正性的新准则。