[论文解读] Algebras of Open Dynamical Systems on the Operad of Wiring Diagrams

Dmitry Vagner, David I. Spivak+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用 26

一句话总结

本文提出了一种使用操作代数和接线图的范畴框架，用于建模开放的连续时间动力系统，表明一般系统和线性系统均构成一个黑箱对称单幕范畴上的代数。其核心贡献是一种代数形式化方法，通过操作复合方式对子系统（如具有流体流动的互联水箱）进行连接编码，从而能够系统地从组件动力学推导出复合系统动力学。

ABSTRACT

In this paper, we use the language of operads to study open dynamical systems. More specifically, we study the algebraic nature of assembling complex dynamical systems from an interconnection of simpler ones. The syntactic architecture of such interconnections is encoded using the visual language of wiring diagrams. We define the symmetric monoidal category W, from which we may construct an operad O(W), whose objects are black boxes with input and output ports, and whose morphisms are wiring diagrams, thus prescribing the algebraic rules for interconnection. We then define two W-algebras, G and L, which associate semantic content to the structures in W. Respectively, they correspond to general and to linear systems of differential equations, in which an internal state is controlled by inputs and produces outputs. As an example, we use these algebras to formalize the classical problem of systems of tanks interconnected by pipes, and hence make explicit the algebraic relationships among systems at different levels of granularity.

研究动机与目标

• 开发一种使用操作代数和接线图语言的正式代数框架，用于组合开放动力系统。
• 将复杂系统建模为通过输入输出接口连接的更简单子系统的分层组合。
• 在对称单幕范畴中形式化系统连接（特别是基于微分方程的一般和线性系统）。
• 通过一个典型例子（具有流动动力学的互联流体水箱）展示该框架的实用性。
• 证明所得到的系统构成接线图操作代数上的代数，确保连接下的封闭性。

提出的方法

• 定义一个对称单幕范畴 $\mathbf{W}$，其对象为具有输入和输出端口的黑箱，态射为指定连接方式的接线图。
• 从 $\mathbf{W}$ 构造操作代数 $\mathcal{O}\mathbf{W}$，以编码通过接线图组合系统的语法规则。
• 定义两个 $\mathbf{W}$-代数：$\mathcal{G}$ 表示一般光滑动力系统，$\mathcal{L} \subseteq \mathcal{G}$ 表示线性系统，将语义内容（微分方程）分配给接线图。
• 使用协调映射 $\mu_{\mathbf{Lin}}$ 将子系统组合为复合系统，同时保持操作代数的代数结构。
• 通过块置换矩阵（如 $\overline{\varphi}$）表示连接关系，编码一个系统输出端口如何连接到另一个系统的输入端口。
• 应用矩阵公式推导复合系统动力学，例如从组件动力学和连接规则得出 $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用图形化代数语言系统地组合开放动力系统？
• RQ2 复杂系统（如流体水箱或电路）中子系统连接的范畴结构是什么？
• RQ3 线性和非线性动力系统在通过接线图进行操作复合时的行为如何？
• RQ4 复合系统的动力学是否可以仅从其组件的动力学及其连接模式完全推导出来？
• RQ5 接线图操作代数在统一不同类型动力系统连接语义方面起到什么作用？

主要发现

• 该框架成功地使用操作复合方法将经典互联水箱问题建模为复合开放动力系统。
• 复合系统动力学被推导为 $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$，其中矩阵 $A$ 由组件动力学和连接规则显式构造。
• 连接模式通过块置换矩阵 $\overline{\varphi}$ 编码，其中单位块表示端口到端口的直接连接。
• 复合水箱系统的动力学表示为 $\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ X_{1a}^{\text{out}} \\ X_{2a}^{\text{out}} \\ X_{2b}^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&0&1&1&0&0\\ 0&-.2&0&0&1&1\\ .1&0&0&0&0&0\\ 0&.125&0&0&0&0\\ 0&.075&0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ X_{1a}^{\text{in}} \\ X_{1b}^{\text{in}} \\ X_{2a}^{\text{in}} \\ X_{2b}^{\text{in}}\end{bmatrix}$，与标准模型完全一致。
• 通过应用公式 (25) 得到外层盒子系统，结果为 $\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ Y^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&.075&0&1\\ .1&-.2&1&0\\ 0&1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Y_a^{\text{in}} \\ Y_b^{\text{in}}\end{bmatrix}$，与已知系统方程一致。