[论文解读] Algorithmic aspects of Tverberg's Theorem

David Rolnick, Pablo Soberón|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了在各种凸性空间中寻找特弗伯格划分的算法复杂度，提出了几何版本和整数版本特弗伯格定理的弱多项式时间概率算法。此外，本文在一般图上的测地凸性中证明了寻找拉东划分问题是 NP-难的，同时为特定图类提供了高效解法。

ABSTRACT

We study the complexity of finding Tverberg partitions within various convexity spaces. For the classic geometric version of Tverberg's theorem, we obtain probabilistic algorithms that are weakly polynomial in both the dimension and the number of points. These algorithms extend to other variations, such as the integer version of Tverberg's theorem. For geodetic convexity on graphs, we show that the general problem of finding Radon partitions is NP-hard, and present efficient algorithms for certain special classes of graphs.

研究动机与目标

• 分析在不同凸性空间中寻找特弗伯格划分的计算复杂度。
• 为特弗伯格定理的几何版本和整数版本开发弱多项式时间概率算法。
• 研究图上测地凸性中拉东划分问题的复杂度。
• 识别可构造高效拉东划分算法的可 tractable 图类。

提出的方法

• 设计在维度和点数上为弱多项式时间的概率算法，用于几何特弗伯格问题。
• 通过将几何方法适配到格点约束，将这些算法扩展到特弗伯格定理的整数版本。
• 通过归约技术，证明在一般图上测地凸性中拉东划分问题的 NP-难性。
• 识别允许高效计算拉东划分的图的结构特性，如树或系列-并行图。
• 将计算几何与组合优化技术应用于欧几里得空间以外的凸性空间。
• 利用图论中凸集的刻画，为特定图类设计专用算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准几何设置下，计算特弗伯格划分的计算复杂度是什么？
• RQ2 能否为整数特弗伯格问题开发弱多项式时间概率算法？
• RQ3 在任意图上的测地凸性中，寻找拉东划分问题是 NP-难的吗？
• RQ4 哪些图类在测地凸性下可支持高效计算拉东划分的算法？
• RQ5 图的哪些结构特性可实现拉东划分的多项式时间计算？

主要发现

• 几何特弗伯格问题的概率算法在维度和点数上均为弱多项式时间运行。
• 相同的算法框架可扩展至特弗伯格定理的整数版本，时间复杂度相似。
• 在图上测地凸性中寻找拉东划分的一般问题是 NP-难的。
• 在特定图类（如树和系列-并行图）中，存在高效的拉东划分计算算法。
• 即使在相对简单的图结构下，NP-难性结果依然成立。
• 本研究确立了清晰的复杂度二分：一般图中为难解，特定结构图类中为可 tractable。