[论文解读] On the extension complexity of combinatorial polytopes

David Avis, Hans Raj Tiwary|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 22

一句话总结

本文通过引入一种基于提升的技术，将NP完全性归约转化为下界，建立了与NP完全问题（如子集和、三维匹配和稳定集问题）相关的组合多面体的指数扩展复杂度。证明了任何包含 $K_n$ 作为子式的图的割多面体的扩展复杂度至少为 $2^{\Omega(n)}$，并表明即使在 $K_6$-子式自由图（如立方平面图的悬垂图）中，扩展复杂度仍可为超多项式，这与可接受多项式大小扩展的 $K_5$-子式自由图形成鲜明对比。

ABSTRACT

In this paper we extend recent results of Fiorini et al. on the extension complexity of the cut polytope and related polyhedra. We first describe a lifting argument to show exponential extension complexity for a number of NP-complete problems including subset-sum and three dimensional matching. We then obtain a relationship between the extension complexity of the cut polytope of a graph and that of its graph minors. Using this we are able to show exponential extension complexity for the cut polytope of a large number of graphs, including those used in quantum information and suspensions of cubic planar graphs.

研究动机与目标

• 将Fiorini等人关于扩展复杂度的结果扩展到与NP完全问题相关的更广泛的组合多面体类别。
• 开发一种通用技术，将NP完全性归约转化为扩展复杂度的下界。
• 以图子式为基准，表征割多面体的扩展复杂度，特别是识别出复杂度从多项式跃迁至指数的临界点。
• 证明即使不含 $K_5$ 子式的图（其可接受多项式扩展）若含有 $K_6$ 子式，其扩展复杂度仍可为超多项式。
• 阐明图子式在决定割多面体扩展形式复杂度中的作用。

提出的方法

• 使用提升论证，将已知难多面体（如 $\mathrm{CUT}^\square(K_n)$）的扩展复杂度下界传递到由NP完全问题导出的其他多面体。
• 论文建立了单调性性质：若 $H$ 是 $G$ 的子式，则 $\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(G)) \geq \mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(H))$，从而实现下界的传播。
• 采用悬垂构造，将稳定集多面体 $\mathrm{STAB}(G)$ 与 $\mathrm{CUT}^\square(G')$ 的一个面联系起来，其中 $G'$ 是 $G$ 的悬垂图，使得扩展复杂度界限得以继承。
• 使用面投影技术，表明 $\mathrm{STAB}(G)$ 是 $\mathrm{CUT}^\square(G')$ 的一个面的投影，从而建立稳定集多面体与割多面体之间的联系。
• 该方法依赖于有效不等式如 $x_{0i} + x_{0j} - x_{ij} \geq 0$ 来定义 $\mathrm{CUT}^\square(G')$ 的面，以编码 $G$ 中的稳定集，同时保持面结构。
• 通过利用Fiorini等人已知的界限，特别是 $\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(K_n)) \geq 2^{\Omega(n)}$，推导出相关多面体的指数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 NP完全性归约能否系统性地转化为组合多面体扩展复杂度的下界？
• RQ2 图子式在决定割多面体扩展复杂度方面起什么作用？
• RQ3 $K_6$-子式自由图中是否存在其割多面体具有超多项式扩展复杂度的图，尽管 $K_5$-子式自由图具有多项式扩展？
• RQ4 立方平面图的稳定集多面体是否可能具有超多项式扩展复杂度？
• RQ5 何种最小图结构仍可在割多面体中支持指数扩展复杂度？

主要发现

• 对于任何包含 $K_n$ 作为子式的图 $G$，其割多面体 $\mathrm{CUT}^\square(G)$ 的扩展复杂度至少为 $2^{\Omega(n)}$。
• 完全三部图 $K_{1,n,n}$ 的割多面体具有至少 $2^{\Omega(n)}$ 的扩展复杂度，证实了贝尔不等式多面体的指数复杂度。
• 对每个 $n \geq 2$，存在一个 $K_6$-子式自由图 $G$（具体为平面图的悬垂图），使得 $\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(G)) \geq 2^{\Omega(n^{1/4})}$，表明在 $K_5$-子式自由图之外，复杂度仍可为超多项式。
• 立方平面图的稳定集多面体具有超多项式扩展复杂度，优于Fiorini等人早期的结果。
• 平面图 $G$ 的悬垂图 $G'$ 的割多面体可投影到稳定集多面体 $\mathrm{STAB}(G)$，使得扩展复杂度界限得以继承。
• 存在显著对比：$K_5$-子式自由图的扩展复杂度为 $O(n^3)$，而 $K_6$-子式自由图的扩展复杂度可为超多项式，表明临界点位于 $K_6$。