[论文解读] Algorithmic determination of irreducibility of holomorphic eta quotients

Soumya Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种算法解决方案，用于判断全纯模形式的埃塔商的不可约性。通过证明：若一个水平为 $N$ 的全纯埃塔商没有非平凡因子的水平整除 $N$，则其所有因子的水平均被一个关于 $N$ 的显式函数所上界。关键结果表明，素数幂水平 $N$ 的可约埃塔商必须具有一个水平整除 $N$ 的非平凡因子，从而可通过基于水平的因式分解检查实现不可约性的认证。

ABSTRACT

Although eta quotients have been extensively studied for a long time,the fundamental problem of constructing an algorithm that determines whether or not a given holomorphic eta quotient $f$ is a product of two holomorphic eta quotients other than 1 and itself still remains open. The difficulty of the problem stems from an apparent lack of information about the existence of an upper bound for the levels of the factors of $f$. Here we show that if a holomorphic eta quotient $f$ of level $N$ has no nontrivial factors whose level divide $N$, then the levels of all the factors of $f$ are bounded above with respect to $N$. We also provide an explicit upper bound in terms of $N$ for the minimum of the levels of the nontrivial factors of $f$. This bound has a further refinement with respect to the weight of $f$. In particular, we show that any reducible holomorphic eta quotient of a prime power level $N$ has a nontrivial factor whose level divides $N$. As a consequence, it follows that all rescalings by positive integers and all Atkin-Lehner involutions of irreducible holomorphic eta quotients of prime power levels are irreducible.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于算法性判断全纯埃塔商是否不可约的开放问题。
• 应对已知的潜在因子水平上界缺失所带来的挑战。
• 在水平 $N$ 的基础上，建立全纯埃塔商非平凡因子的最小水平的显式上界。
• 证明对于素数幂水平 $N$，任何可约埃塔商必具有一个水平整除 $N$ 的非平凡因子，从而实现算法验证。

提出的方法

• 作者通过分析潜在因子水平的可除性条件，研究全纯埃塔商的结构及其水平。
• 在假设不存在水平整除 $N$ 的此类因子的前提下，推导出全纯埃塔商 $f$ 的所有非平凡因子水平的上界。
• 利用埃塔商的权对边界进行优化，从而对因子水平施加更紧的约束。
• 证明过程利用了模形式的性质以及戴德金埃塔函数在模变换下的变换行为。
• 作者应用阿特金-莱纳对合与缩放运算，保持不可约性，证明在素数幂水平下，不可约性在这些运算下保持不变。
• 他们运用模形式理论与水平提升技术，证明若不存在低水平因子，则所有因子水平均被有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个算法，通过分析其水平与因子结构，来判断全纯埃塔商是否不可约？
• RQ2 是否存在一个关于水平 $N$ 的绝对上界，用于控制全纯埃塔商的非平凡因子的水平？
• RQ3 每个素数幂水平 $N$ 的可约全纯埃塔商是否必然具有一个水平整除 $N$ 的非平凡因子？
• RQ4 埃塔商的权如何影响其非平凡因子最小水平的上界？
• RQ5 对于素数幂水平的埃塔商，不可约性在缩放与阿特金-莱纳对合下是否保持不变？

主要发现

• 在不存在水平整除 $N$ 的非平凡因子的前提下，建立了全纯埃塔商 $f$ 的所有非平凡因子水平的显式上界。
• 非平凡因子最小水平的上界以 $N$ 显式表达，且其优化版本引入了 $f$ 的权。
• 对于任意素数幂水平 $N$ 的可约全纯埃塔商，均存在一个水平整除 $N$ 的非平凡因子，从而支持基于水平的算法化因子检查。
• 所有正整数缩放与所有素数幂水平下不可约全纯埃塔商的阿特金-莱纳对合均保持不可约。
• 结果表明，通过检查水平整除 $N$ 的因子，可算法性地确定素数幂水平下埃塔商的不可约性。