[论文解读] Algorithms on Ideal over Complex Multiplication order

Paul Kirchner|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文将 Gentry-Szydlo 算法扩展至复乘（CM）阶和更一般的代数结构，实现了理想等价性测试、生成元寻找、范数方程和主理想约化问题的多项式时间解法。关键贡献是提出一个可证明的多项式时间算法，用于恢复极化理想的一个生成元，并以 $ n^{O(\log \log n)} $ 的近似因子解决有界距离解码问题，显著推广了此前在分圆阶上的研究成果。

ABSTRACT

We show in this paper that the Gentry-Szydlo algorithm for cyclotomic orders, previously revisited by Lenstra-Silverberg, can be extended to complex-multiplication (CM) orders, and even to a more general structure. This algorithm allows to test equality over the polarized ideal class group, and finds a generator of the polarized ideal in polynomial time. Also, the algorithm allows to solve the norm equation over CM orders and the recent reduction of principal ideals to the real suborder can also be performed in polynomial time. Furthermore, we can also compute in polynomial time a unit of an order of any number field given a (not very precise) approximation of it. Our description of the Gentry-Szydlo algorithm is different from the original and Lenstra- Silverberg's variant and we hope the simplifications made will allow a deeper understanding. Finally, we show that the well-known speed-up for enumeration and sieve algorithms for ideal lattices over power of two cyclotomics can be generalized to any number field with many roots of unity.

研究动机与目标

• 将 Gentry-Szydlo 算法从分圆阶推广至复乘（CM）阶及更广泛的代数结构。
• 实现在极化理想类群中理想等价性的多项式时间判定，并恢复此类理想的生成元。
• 利用代数方法在多项式时间内求解 CM 阶上的范数方程，并将主理想约化至其实子阶。
• 通过一种新颖的 Gentry-Szydlo 框架方法，从粗略近似中恢复任意数域的单位元。
• 通过利用任意数域中单位根的结构，加速理想格中的最短向量与筛法算法。

提出的方法

• 通过利用分裂 CM 阶结构和基于范数的约化 $ x \mapsto x\overline{x} $，将 Gentry-Szydlo 算法适配至 CM 阶。
• 在理想生成元的范数上应用基于 LLL 的格约化，即使在存在噪声近似的情况下，也能恢复 $ v $ 从 $ v\overline{v} $。
• 通过在数域上对分布 $ \mathcal{D} $ 进行采样，利用平均范数估计与切比雪夫集中不等式，恢复 $ v\mu(\mathcal{O}) $。
• 在截断理想上应用 Babai 的最近平面算法，通过使用满足 $ p-1 \mid e $ 的小素理想来解码 $ v^e $ 并恢复 $ v $。
• 利用单位格与复对数嵌入的结构，将近似误差控制在 $ n^{-O(\log \log n)} $ 以内。
• 通过实子阶约化将格的维度减半，从而加速最短向量搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gentry-Szydlo 算法能否被扩展至分圆阶之外的 CM 阶及更一般的代数结构？
• RQ2 在 CM 阶上，极化理想类群中的等价性判定是否可在多项式时间内解决？
• RQ3 能否利用代数方法在 CM 阶上高效求解范数方程？
• RQ4 能否在任意数域中，从粗略近似出发在多项式时间内恢复单位元？
• RQ5 能否将理想格算法（如最短向量问题）中的加速效果推广至含有大量单位根的任意数域？

主要发现

• 本文证明，在 GRH 假设下或使用随机性时，极化理想类群中的等价性可多项式时间判定，且对任意理想 $ (I, r) $ 满足 $ r = v\overline{v} $，可恢复其生成元 $ v $。
• 利用扩展的 Gentry-Szydlo 框架，可在多项式时间内求解 CM 阶上的范数方程。
• 主理想在 CM 阶上可多项式时间约化至其实子阶，从而为 FHE 和多线性映射方案的攻击提供支持。
• 在多项式时间内，可从 $ u\overline{u} $ 的 $ n^{-O(\log \log n)} $ 近似中恢复单位元 $ u $，方法为在范数格上应用格约化。
• Gentry-Szydlo 算法被推广至任意含有大量单位根的数域，使最短向量与筛法算法的运行速度获得多项式因子的加速。
• 在启发式假设下，单位格上的有界距离解码问题可在多项式时间内以近似因子 $ n^{O(\log \log n)} $ 求解。