[论文解读] All $(96,20,4)$ difference sets and related structures

Omar A. AbuGhneim, Peifer, Dylan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

graph theory and CDMA systems被引用 3

一句话总结

本文通过在剩余的94个阶为96的群中，利用GAP软件和先前的理论结果，对所有(96,20,4)差集进行了穷举计算，完成了对这些差集的分类。作者识别出2,627个非等价差集，从而生成了583个非同构的对称(96,20,4)设计——其中563个为真正非交换的——并构建了所有(96,20,4,4)和(96,19,2,4)部分差集，分别得到58个和12个非同构的强正则图。

ABSTRACT

In 1978, Robert Kibler at the National Security Agency in Fort Meade, Maryland published a description of all noncyclic difference sets with $k < 20$. Kibler's decision to stop his extensive computer search for difference sets at block size 19 was motivated partly by the difficult barrier at $k=20$, the difference sets with parameters $(96,20,4)$. In this paper, we announce the completion of the search for all $(96,20,4)$ difference sets, relying on the computer software GAP and the work of numerous authors over the last few decades. The difference sets and the symmetric designs they create are summarized and links are provided to webpages which explicitly list the difference sets. In addition, we use these $(96,20,4)$ difference sets to construct all $(96, 20, 4, 4)$ and $(96, 19, 2, 4)$ partial difference sets and briefly look at the corresponding strongly regular graphs.

研究动机与目标

• 完成对阶为96的群中所有(96,20,4)差集的枚举，解决在k=20时长期悬而未决的开放问题。
• 确定所有非等价差集及其对应的对称2-设计的完整集合，特别关注此前未解决的19个群。
• 从(96,20,4)差集的完整集合中，构建所有(96,20,4,4)和(96,19,2,4)部分差集。
• 根据这些部分差集，对所关联的强正则图进行同构分类。
• 识别出哪些对称设计为真正非交换的，即不具有阿贝尔 sharply 传递自同构群。

提出的方法

• 利用GAP软件包，在已知可容纳此类差集的94个阶为96的群中系统搜索(96,20,4)差集，重点关注此前未解决的19个群。
• 应用McFarland和Arasu–Sehgal构造的理论结果，以指导和验证搜索，尤其针对阿贝尔与非阿贝尔情形。
• 使用群环方程，特别是$\hat{D}\hat{D}^{(-1)} = (k-\lambda)1_G + \lambda\hat{G}$，计算验证差集性质。
• 通过群自同构和内自同构实施等价性约化，避免重复计数。
• 利用已知的组合映射，从差集中构造部分差集，特别针对参数(96,20,4,4)和(96,19,2,4)。
• 使用图同构工具从部分差集中生成并分类强正则图，确保识别出非同构的代表。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有阶为96的群中，共有多少个非等价的(96,20,4)差集？
• RQ2 这些差集生成了多少个非同构的对称(96,20,4)2-设计？其中有多少个是真正非交换的？
• RQ3 从(96,20,4)差集中，可导出的(96,20,4,4)和(96,19,2,4)部分差集的完整集合是什么？
• RQ4 从这些构造中，可得到多少个非同构的参数为(96,20,4,4)和(96,19,2,4)的强正则图？
• RQ5 哪些对称设计无法由阿贝尔群构造？这对它们的自同构结构意味着什么？

主要发现

• 本文完成了对(96,20,4)差集的分类，共识别出94个阶为96的群中总共2,627个非等价差集。
• 这些差集生成了583个非同构的对称(96,20,4)2-设计，其中563个为真正非交换的，因此无法通过阿贝尔群作用实现。
• 作者从(96,20,4)差集的完整集合中，构建了全部58个非同构的(96,20,4,4)部分差集和全部12个非同构的(96,19,2,4)部分差集。
• 所有58个参数为(96,20,4,4)的强正则图和所有12个参数为(96,19,2,4)的强正则图，均仅来自非阿贝尔群。
• 此前未解决的19个群贡献了637个差集，这对完成完整枚举和确认2,627个非等价差集的总数至关重要。
• 研究证实，在137个不支持此类差集的群中不存在(96,20,4)差集，且由阿贝尔群导出的20个设计仅占全部583个对称设计的一小部分。