[论文解读] All Local Conserved Quantities of the One-Dimensional Hubbard Model

Kohei Fukai|PubMed|Jan 9, 2023

Quantum many-body systems参考文献 55被引用 7

一句话总结

本文通过识别由自旋-1/2 XX链电荷构成的连通图基，推导出一维 Hubbard 模型中所有局部守恒量的精确表达式。该文推导出高阶电荷 Qk（k ≥ 6）中非平凡系数的递推关系，证明所有局部电荷均为这些 Qk 的线性组合，从而解决了量子可积性领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

We present the exact expression for all local conserved quantities of the one-dimensional Hubbard model. We identify the operator basis constructing the local charges and find that nontrivial coefficients appear in the higher-order charges. We derive the recursion equation for these coefficients, and some of them are explicitly given. There are no other local charges independent of those we obtained.

研究动机与目标

• 解决一维 Hubbard 模型中识别所有局部守恒量这一长期存在的开放问题。
• 建立 k ≥ 6 时高阶局部电荷 Qk 的系统构造方法，其中出现非平凡系数。
• 证明所有局部电荷均为通过 XX 链电荷的连通图构造的 Qk 的线性组合。
• 推导这些电荷系数的递推方程，从而实现 Qk 的系统计算。

提出的方法

• 引入一种图解记号，使用由自旋-1/2 XX 链构成的单位组合而成的‘连通图’，其中类型 +（对应跃迁项）和 −（对应密度项）。
• 通过这些单位的乘积在位点平移不变性下的求和，定义一组算符基，对顺序和非重叠位置施加约束。
• 利用支撑数（sΨ）、双重数（dΨ）和间隙数（gΨ）对图进行分类，并定义（s,d）-图以实现系统的枚举。
• 推导 Qk 中连通图系数的递推关系，从而实现任意 k 下 Qk 的计算。
• 证明所有局部电荷均由这种构造方式得到的 Qk 张成，表明不存在独立于这些 Qk 的局部电荷。
• 通过显式计算 Qk（k = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13）并给出非平凡系数，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维 Hubbard 模型中局部守恒量的完整代数结构是什么？
• RQ2 当不存在提升算符时，如何系统地构造高阶局部电荷 Qk（k ≥ 6）？
• RQ3 自旋-1/2 XX 链的守恒电荷在形成 Hubbard 模型局部电荷中起什么作用？
• RQ4 在前几阶之后，Qk 表达式中是否存在非平凡系数？
• RQ5 所有局部电荷是否都能表示为有限组 Qk 的线性组合？如果是，其系数的递推关系是什么？

主要发现

• 一维 Hubbard 模型中所有局部守恒量均可精确表示为 Qk 的线性组合，其中 Qk 是由 XX 链电荷的连通图构造而成。
• 对于 k ≥ 6，Qk 中出现非平凡系数，其值由推导出的递推关系确定。
• 首次显式计算出 Q6、Q7、Q8、Q9、Q10、Q11、Q12 和 Q13 的表达式，系数以表格形式提供，涵盖多种（s,d）-图构型。
• 本文证明了不存在独立于所构造 Qk 的局部电荷，确立了该基的完备性。
• 系数的递推关系使得任意 k 下 Qk 的系统生成成为可能，解决了 Hubbard 模型中缺乏提升算符的问题。
• Qk 的结构由连通图记号完全刻画，支撑数、双重数和间隙数是关键的分类不变量。