[论文解读] All superalgebras for warped AdS$_2$ and black hole near horizon geometries

Ulf Gran, J. Gutowski+1 more|View|Dec 21, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文在光滑性和紧致性假设下，对十维和十ー维超引力中的近视界几何与翘折AdS₂背景的所有对称超代数进行了分类。结果表明，要么偶部代数分解为𝔰𝔩(2,ℝ)⊕𝔱₀，其中𝔟₀/𝔠在球面上作用传递；要么超代数是幂零的；关键的是，此类背景不会保留超过16个超对称性。

ABSTRACT

We identify all symmetry superalgebras $\mathfrak{g}$ of near horizon geometries of black holes with a Killing horizon, assuming the solution is smooth and that the spatial cross section of the event horizon is compact without boundary. This includes all warped AdS$_2$ backgrounds with the most general allowed fluxes in 10- and 11-dimensional supergravities. If the index of a particular Dirac operator vanishes, we find that the even symmetry subalgebra decomposes as $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus \mathfrak{t}_0$, where $\mathfrak{t}_0/\mathfrak{c}$ is the Lie algebra of a group that acts transitively and effectively on spheres, and $\mathfrak{c}$ is the center of $\mathfrak{g}$. If the Dirac operator index does not vanish, then the symmetry superalgebra is nilpotent with one even generator. We also demonstrate that there are no near horizon geometries, and also therefore no warped AdS$_2$ backgrounds, in 10- and 11-dimensions that preserve more than 16 supersymmetries.

研究动机与目标

• 在光滑场和紧致、无边的空间视界截面假设下，识别所有具有Killing视界的黑洞近视界几何的可能对称超代数。
• 将十维和十ー维超引力中具有通用 flux 的翘折AdS₂背景的对称超代数分类为近视界几何的特例。
• 在视界猜想和几何约束下，确定此类背景中保留的超对称性最大数量。
• 确立在十维和十ー维超引力中，无光滑、紧致、带 flux 的近视界几何或翘折AdS₂解可保留超过16个超对称性。
• 证明偶部代数𝔤₀ 的结构取决于狄拉克算子的指标：要么为𝔰𝔩(2,ℝ)⊕𝔱₀，要么为一维幂零代数。

提出的方法

• 利用视界猜想，将保留的超对称性数量与扭曲狄拉克算子𝔇̸ 的指标联系起来，假设场光滑且视界截面紧致。
• 应用基于外微分形式的超代数括号定义方法，通过Killing旋量双线性型和旋量李导数，如先前对翘折AdSₙ背景的研究中所发展。
• 应用文献[9]中的齐性定理，证明翘折AdS₂背景的空间视界截面和内部流形分别具有以𝔟₀⊕𝔰𝔬(2) 和 𝔟₀ 为李代数的传递群作用。
• 分析偶部代数𝔤₀ 的结构，表明当 Index 𝔇̸ = 0 时，其分解为𝔰𝔩(2,ℝ)⊕𝔱₀，且𝔟₀/𝔠 在球面上作用传递且有效。
• 利用八维和九维齐性空间的分类结果，排除紧致内部流形下更高超对称性的可能性。
• 在 IIB、大质量 IIA 和杂交超引力中显式求解场方程与 KSE（Killing 旋量方程），排除在 S⁸ 或其他对称空间上 N > 16 超对称性的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在十维和十ー维超引力中，具有紧致、无边空间视界截面的黑洞近视界几何的完整对称超代数集合是什么？
• RQ2 狄拉克算子𝔇̸ 的指标如何决定这些超代数中偶部代数𝔤₀ 的结构？
• RQ3 在光滑性和紧致性条件下，十维和十ー维超引力中的翘折AdS₂背景是否可保留超过16个超对称性？
• RQ4 空间视界截面和内部空间的几何特性对可能的等距代数和超对称代数施加了何种约束？
• RQ5 在何种条件下对称超代数变为幂零？这与狄拉克算子的指标有何关联？

主要发现

• 当狄拉克算子的指标为零时，对称超代数的偶部代数分解为𝔰𝔩(2,ℝ)⊕𝔱₀，其中𝔟₀/𝔠 是在球面上作用传递且有效的群的李代数。
• 当狄拉克算子的指标非零时，对称超代数为幂零，其偶部代数为一维，非零反对易关系在公式 (3.94) 中明确给出。
• 在十维和十ー维超引力中，不存在光滑、紧致、带 flux 的近视界几何或翘折AdS₂背景可保留超过16个超对称性。
• 一般近视界几何的空间视界截面具有以𝔟₀⊕𝔰𝔬(2) 为李代数的群的传递等距作用，而翘折AdS₂背景的内部空间则具有以𝔟₀ 为李代数的此类作用。
• 对于 N > 16 超对称性，紧致性和光滑性要求在如 S⁸ 这类球面上导致里奇曲率矛盾，从而在 IIB 和大质量 IIA 超引力中排除了此类解。
• 在标准假设下，该结果完成了对十维和十ー维超引力中 n = 2, 4, 5 的翘折AdSₙ 背景对称超代数的完整分类，且无解超过16个超对称性。