[论文解读] Supersymmetric AdS backgrounds and weak generalised holonomy

André Coimbra, Charles Strickland‐Constable|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 49被引用 7

一句话总结

该论文证明，在十一维和II型超引力中，保持𝒩 supersymmetries的超对称反德西特（AdS）背景由弱广义Holonomy结构表征，具体为具有单重态挠率的G_{D,𝒩}-结构。关键结果是给出了此类背景存在实现AdS R-对称性的等距变换的几何证明，且其Killing超代数同构于标准𝒩-扩展AdS超代数，从而解决了AdS/CFT研究中长期存在的假设问题。

ABSTRACT

We study supersymmetric AdS$_D$ backgrounds of eleven-dimensional or type II supergravity preserving $\mathcal{N}$ supersymmetries using generalised geometry. We show that a large class correspond precisely to spaces admitting a generalised $G_{D,\mathcal{N}}$ structure with a weak integrability condition, which we call "weak generalised holonomy". This class contains all such backgrounds with odd $D$, but for even $D$ we must impose a technical assumption concerning the inner products of Killing spinors. It is known that all compact smooth solutions are included, though our analysis is purely local. We show that the Killing superalgebras of such backgrounds are isomorphic to the standard $\mathcal{N}$-extended AdS$_D$ superalgebras, and give a geometric proof of the existence of isometries of the internal spaces which realise the AdS R-symmetry, as often assumed in explicit studies of such solutions.

研究动机与目标

• 使用广义几何描述十一维和II型超引力中超对称AdS背景。
• 识别出精确的几何结构——弱广义Holonomy——以对保持𝒩超对称性的此类背景进行分类。
• 从几何角度推导AdS R-对称性等距变换，这些等距变换在AdS/CFT研究中常被假设。
• 证明这些背景的Killing超代数同构于标准𝒩-扩展AdS超代数。
• 阐明在偶数维AdS背景中Killing旋量正交性的角色，因为在这些情况下它并非由Killing旋量方程自动推出。

提出的方法

• 作者采用例外广义几何，特别是E_{d(d)} × ℝ⁺形式，来描述AdS背景的内部几何。
• 他们引入一个弱可积性条件——‘弱广义Holonomy’——其中广义内在挠率为常数单重态，对应于宇宙学常数Λ。
• 分析依赖于在由保留超对称数𝒩决定的结构群G_{D,𝒩}下对广义切空间的分解。
• 作者通过Killing旋量的双线性形式构造广义Killing向量，这些向量生成对应于R-对称代数的内部空间等距变换。
• 他们利用USp(8)的27维表示在子群如USp(8−2𝒩)×SU(𝒩)下的分解，识别出广义切空间中对应于R-对称性生成元的分量。
• 超代数同构的证明依赖于证明Killing旋量的对易关系闭合于标准AdS超代数，其中条件S_{ij}=0确保了一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在十一维和II型超引力中，保持𝒩超对称性的超对称AdS背景由何种几何结构表征？
• RQ2 当宇宙学常数非零时，广义Holonomy的概念如何推广？
• RQ3 为何在偶数维AdS背景中Killing旋量的正交性是一个非平凡假设，且在何种条件下可保证其成立？
• RQ4 如何从广义几何框架中几何地推导AdS R-对称性等距变换？
• RQ5 这些背景的Killing超代数的精确结构是什么，它与标准𝒩-扩展AdS超代数有何关系？

主要发现

• 保持𝒩超对称性的超对称AdS背景由具有G_{D,𝒩}结构群和单重态挠率的弱广义Holonomy结构分类，该结构推广了闵可夫斯基背景中的特殊Holonomy概念。
• 对于奇数D，所有此类背景在无额外假设下均具有此弱广义Holonomy结构；对于偶数D，该结果在Killing旋量内积的某个技术性假设下成立。
• 这些背景的Killing超代数同构于标准𝒩-扩展AdS超代数，确认了其代数结构。
• AdS R-对称性等距变换作为由旋量双线性形式构造的广义Killing向量被几何实现，为它们在显式解构造中的使用提供了严格基础。
• 在AdS5情形下，当𝒩=4时，R-对称性代数从U(𝒩)约化为SU(4)，这是由于广义向量分量的迹零条件所致，解释了对称性的增强。
• 该分析确认了紧致、光滑的AdS解包含在此分类中，尽管该框架纯粹是局部的。