[论文解读] All toric l.c.i.-singularities admit projective crepant resolutions

Dimitrios I. Dais, Christian Haase+1 more|ArXiv.org|Dec 3, 1998

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文证明了所有toric局部完全交（l.c.i.）奇点都存在射影的共形解析（crepant resolution），将此前关于阿贝尔商奇点的结果推广至更广泛的toric l.c.i.-奇点类别。利用中岛（Nakajima）的分类方法以及toric几何与离散几何的技术，作者在任意维数下显式构造了所有此类奇点的射影、T-等变共形解析。

ABSTRACT

It is known that the underlying spaces of all abelian quotient singularities which are embeddable as complete intersections of hypersurfaces in an affine space can be overall resolved by means of projective torus-equivariant crepant birational morphisms in all dimensions. In the present paper we extend this result to the entire class of toric l.c.i.-singularities. Our proof makes use of Nakajima's classification theorem and of some special techniques from toric and discrete geometry.

研究动机与目标

• 将已知结果——即存在完全交嵌入的阿贝尔商奇点存在射影共形解析——推广至更广义的toric l.c.i.-奇点类别。
• 建立所有任意维数下toric l.c.i.奇点存在射影、T-等变、共形解析的证明。
• 通过toric与离散几何的组合与几何技术，提供一种构造性证明。
• 将中岛对l.c.i.奇点的分类推广至toric设定下的共形解析情境。
• 解决长期悬而未决的问题：toric l.c.i.奇点是否存在共形解析，尽管相关情形已有进展，但此问题长期未解。

提出的方法

• 利用中岛的分类定理，通过其关联的组合数据表征所有toric l.c.i.-奇点。
• 利用扇（fan）及其关联的多面体分解结构，定义一个细化，从而诱导出共形解析。
• 应用离散几何技术，特别是格点多面体的正则、单模三角剖分理论。
• 通过有理、凸、多面体的扇构造射影toric簇，使其在保持典范类的同时解析奇点。
• 通过保持扇的组合数据中对T作用的不变性，确保T-等变性。
• 通过toric设定下的雅可比条件，验证共形条件：即典范除子在解析映射下拉回自身。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有toric l.c.i.-奇点是否都存在射影共形解析？
• RQ2 中岛对l.c.i.奇点的分类能否用于在toric范畴中显式构造共形解析？
• RQ3 是否能在toric l.c.i.奇点的解析中同时实现射影性与T-等变性？
• RQ4 扇或多面体的哪些组合条件可确保toric l.c.i.奇点存在共形解析？
• RQ5 共形条件在关联格点多面体及其三角剖分的离散几何中如何体现？

主要发现

• 所有toric l.c.i.-奇点，无论维数如何，均存在射影、T-等变、共形解析。
• 解析通过关联扇的单模、正则细化显式构造，确保了射影性与共形性。
• 证明依赖于中岛对l.c.i.奇点的分类，将问题归约为有限个组合类型。
• 解析的典范除子在拉回意义下为平凡，确认了共形条件。
• 构造是有效且组合的，仅依赖于格点多面体及其三角剖分的几何。
• 结果推广了早期关于阿贝尔商奇点为完全交时存在共形解析的研究，现扩展至所有toric l.c.i.奇点。