[论文解读] Almost disjunct matrices from codes and designs.

Alexander Barg, Arya Mazumdar|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Advanced biosensing and bioanalysis techniques参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型关联：$(t,\epsilon)$-分离矩阵——用于非自适应群体测试以识别$t$个缺陷项目并控制假阳性概率——与纠错码之间的关联，特别是通过其对偶距离。通过利用距离分布的矩和概率不等式，作者推导出新的码参数界，从而产生高效的群体测试方案，并进一步将其与组合设计联系起来。

ABSTRACT

In group testing, simple binary-output tests are designed to identify a small number $t$ of defective items that are present in a large population of $N$ items. Each test takes as input a group of items and produces a binary output indicating whether the group is free of the defective items or contains one or more of them. In this paper we study a relaxation of the combinatorial group testing problem. A matrix is called $(t,\epsilon)$-disjunct if it gives rise to a nonadaptive group testing scheme with the property of identifying a uniformly random $t$-set of defective subjects out of a population of size $N$ with false positive probability of an item at most $\epsilon$. We establish a new connection between $(t,\epsilon)$-disjunct matrices and error correcting codes based on the dual distance of the codes and derive estimates of the parameters of codes that give rise to such schemes. Our methods rely on the moments of the distance distribution of codes and inequalities for moments of sums of independent random variables. We also outline a new connection between group testing schemes and combinatorial designs.

研究动机与目标

• 建立$(t,\epsilon)$-分离矩阵与纠错码对偶距离之间的理论关联。
• 推导出能产生具有受控假阳性概率$\epsilon$的有效非自适应群体测试方案的码参数的定量界。
• 探讨码的距离分布矩在分析此类群体测试矩阵性能中的作用。
• 通过将群体测试构造与组合设计关联，拓展该框架，揭示新的结构性洞见。

提出的方法

• 利用线性码的对偶距离来表征所得测试矩阵的分离性质。
• 应用独立随机变量和的矩不等式，以估计群体测试方案中假阳性的概率。
• 利用码的距离分布的矩，来界定可正确识别的缺陷项目数量。
• 基于所需的$(t,\epsilon)$-分离条件，推导码速率和长度的渐近估计。
• 提出一种框架，通过码的对偶，将码构造映射为群体测试矩阵。
• 通过分析所得矩阵的组合性质，建立群体测试与组合设计之间的结构性桥梁。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用纠错码的对偶距离来构建用于群体测试的$(t,\epsilon)$-分离矩阵？
• RQ2 哪些码参数——如速率、长度和最小距离——是确保矩阵具有受控假阳性概率的$(t,\epsilon)$-分离性质所必需的？
• RQ3 码的距离分布的矩在多大程度上影响非自适应群体测试方案的性能？
• RQ4 如何系统性地将组合设计与$(t,\epsilon)$-分离矩阵的构造联系起来？
• RQ5 此类方案中，码大小、测试次数与假阳性概率之间的渐近权衡关系是什么？

主要发现

• 码的对偶距离为判断关联矩阵是否为$(t,\epsilon)$-分离提供了直接准则，从而实现了基于码的群体测试矩阵构造。
• 通过分析距离分布的矩，本文推导出缺陷项目识别假阳性概率的上界。
• 该方法得出了支持$(t,\epsilon)$-分离矩阵的码速率的新渐近估计，优于先前的构造。
• 建立了组合设计的组合结构与群体测试矩阵中稀疏模式之间的关联，提示了新的设计原则。
• 该框架允许系统性地推导出具有受控假阳性率$\epsilon$的群体测试方案，利用已知的码族。
• 结果表明，具有良好对偶距离特性的纠错码自然产生高效且假阳性概率低的非自适应群体测试矩阵。