[论文解读] Almost normal operators mod Hilbert-Schmidt and the K-theory of the Banach algebras $EΛ(Ω)$

Dan-Virgil Voiculescu|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文引入了巴拿赫 $*$-代数 $E\Lambda(\Omega)$ 以研究模希尔伯特-施密特算子的几乎正规算子，建立了其 $K$-理论与平库斯 $g$-函数之间的联系。研究发现，$E\Lambda(\mathbb{C})_0$ 的 $K_0$-群同构于具有有界紧支集的实值 $L^1$-函数空间，为迹类自交换子的 BDF 定理提供了一个潜在的 $K$-理论类比。

ABSTRACT

Is there a mod Hilbert-Schmidt analogue of the BDF-theorem, with the Pincus g-function playing the role of the index ? We show that part of the question is about the K-theory of certain Banach algebras. These Banach algebras, related to Lipschitz functions and dirichlet algebras have nice Banach space duality properties. Moreover their corona algebras are C*-algebras.

研究动机与目标

• 探究是否存在一个模希尔伯特-施密特算子的 BDF 定理类比，其中平库斯 $g$-函数充当指标不变量。
• 建立巴拿赫代数 $E\Lambda(\Omega)$ 的 $K$-理论与具有迹类自交换子的算子的 $g$-函数之间的联系。
• 证明余代数 $E\Lambda(\Omega)/{\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 是 $C^*$-代数，尽管 $E\Lambda(\Omega)$ 本身并非 $C^*$-代数。
• 探讨 $K$-理论在解决模希尔伯特-施密特算子的几乎正规算子的正规扩张问题中的作用。
• 研究 $E\Lambda(\Omega)$ 及其理想 ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 的对偶性与乘子结构，特别是与 Dirichlet 代数和非交换势论的关系。

提出的方法

• 将巴拿赫 $*$-代数 $E\Lambda(\Omega)$ 定义为作用在 $L^2(\Omega, \lambda)$ 上的算子集合，其与利普希茨函数乘法的交换子属于希尔伯特-施密特类。
• 将 ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 定义为 $E\Lambda(\Omega)$ 中的紧算子理想，证明其为具有有界逼近单位的投影的 Dirichlet 代数。
• 通过有界博雷尔集 $\Omega$ 上的 $E\Lambda(\Omega)$ 的归纳极限构造 $E\Lambda(\mathbb{C})_0$，以实现全局的 $K$-理论分析。
• 利用平库斯 $g$-函数定义从 $K_0(E\Lambda(\mathbb{C})_0)$ 到 $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$（即具有有界紧支集的实值 $L^1$-函数空间）的同态。
• 应用非交换势论的结果，包括导子和马尔可夫半群，以证明 $E\Lambda(\Omega)$ 和 ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 在商代数上具有 $C^*$-代数结构。
• 通过双李普希茨映射建立 $E\Lambda(\Omega_1)$ 与 $E\Lambda(\Omega_2)$ 之间的同构，保持结构并诱导余代数上的 $C^*$-同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个模希尔伯特-施密特算子的几乎正规算子的 $K$-理论类比 BDF 定理，其中 $g$-函数作为指标不变量？
• RQ2 $E\Lambda(\mathbb{C})_0$ 的 $K_0$-群是否可通过平库斯 $g$-函数与 $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$ 同构？
• RQ3 是否能通过 $E\Lambda(\Omega)$ 的 $K$-理论解决模希尔伯特-施密特算子的几乎正规算子的正规扩张问题？
• RQ4 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ 余代数的结构是什么？为何尽管 $E\Lambda(\Omega)$ 不是 $C^*$-代数，其余代数却是 $C^*$-代数？
• RQ5 双李普希茨同胚如何作用于代数 $E\Lambda(\Omega)$ 和 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$，并保留哪些不变量？

主要发现

• 通过平库斯 $g$-函数，$E\Lambda(\mathbb{C})_0$ 的 $K_0$-群同构于具有有界紧支集的实值 $L^1$-函数空间 $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$。
• 余代数 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ 是 $C^*$-代数，尽管 $E\Lambda(\Omega)$ 不是 $C^*$-代数，这是由于理想 ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 的特定结构所致。
• ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 是一个 Dirichlet 代数，其在希尔伯特-施密特空间上的导子诱导出一个马尔可夫半群的完全正收缩。
• 当 $\Omega$ 有界时，代数 $E\Lambda(\Omega)$ 同构于 ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ 的双对偶代数与乘子代数，从而建立了对偶结构。
• 双李普希茨同胚将 $\Omega$ 映射到 $E\Lambda(\Omega)$ 和 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ 上，诱导出余代数上的 $C^*$-代数同构，并保持 $K$-理论结构。
• $E\Lambda(\Omega)$ 的 $K$-理论比紧算子的 $K$-理论更丰富，表明 $K_0$-群非平凡，可能阻碍正规扩张的存在。