[论文解读] Almost partitioning the hypercube into copies of a graph

Vytautas Gruslys, Shoham Letzter|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明，对于任意超立方体 $Q_k$ 的诱导子图 $H$，均可近乎将超立方体 $Q_n$ 划分为 $H$ 的诱导拷贝，最多留下 $O(n^c)$ 个未覆盖顶点，其中 $c = c(H)$。此外，本文进一步证明该误差项无法优于 $ olimits\log n$，从而为 $(P_3)^3$ 等特定图类建立了紧致的下界。研究结果将已知的完美铺砌结果推广至超立方体图的近乎完美铺砌，并解决了关于特定子图误差项最小性的猜想。

ABSTRACT

Let $H$ be an induced subgraph of the hypercube $Q_k$, for some $k$. We show that for some $c = c(H)$, the vertices of $Q_n$ can be partitioned into induced copies of $H$ and a remainder of at most $O(n^c)$ vertices. We also show that the error term cannot be replaced by anything smaller than $\log n$.

研究动机与目标

• 确定当 $H$ 是某个 $Q_k$ 的诱导子图时，超立方体 $Q_n$ 中 $H$-打包的最大大小。
• 为这类打包中未覆盖顶点的数量建立上界。
• 研究在将 $Q_n$ 近乎划分为 $H$ 的拷贝时，误差项是否可低于 $\log n$。
• 通过构造特定图类（如 $(P_3)^3$）的下界，解决误差项最小性问题。
• 将已知的完美铺砌结果从完美打包推广至超立方体中的近乎完美打包。

提出的方法

• 利用超立方体的乘积结构，特别是 $(P_{2|H|}})^n$，通过 Gruslys、Leader 和 Tomon 关于铺砌乘积空间的结果，构造出 $H$ 的诱导拷贝的完美铺砌。
• 在 $Q_n$ 中构造一条哈密顿路径，随后将其分解为长度为 $l$ 的段，形成初始的非诱导拷贝 $(P_l)^t$，再通过优化确保其为诱导拷贝。
• 在 $\{0,1\}^n$ 中应用分离系统，证明任意 $(P_3)^3$-打包至少会留下 $\log n$ 个未覆盖顶点。
• 利用余维子立方体与交集分析，表明 $H$ 的诱导拷贝仅能覆盖特定配置，从而导致不可避免的未覆盖顶点。
• 通过反证法与极值组合学方法，证明在 $(P_3)^3$-打包中，未覆盖顶点数至少为 $\log n$，并利用未覆盖顶点集的分离族性质建立下界。
• 将 $(P_{2|H|}})^n$ 的完美 $H$-打包与 $Q_n$ 的覆盖论证相结合，推导出一般 $H$ 的 $O(n^c)$ 误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 超立方体 $Q_n$ 能否近乎划分为某个固定诱导子图 $H \subseteq Q_k$ 的诱导拷贝，且仅含较小的误差项？
• RQ2 此类近乎划分中的最小误差项是多少？该误差项能否与 $n$ 无关？
• RQ3 对于一般 $H$，$O(n^c)$ 误差项是否紧致？能否改进为常数或 $\log n$？
• RQ4 对于图 $(P_3)^3$，任何 $Q_n$ 打包中未覆盖顶点数的误差项下界是否为 $\log n$？
• RQ5 是否存在 $Q_n$ 中的一条哈密顿路径，使得每 $l$ 个连续顶点均诱导出一条路径 $P_l$？

主要发现

• 对于任意诱导子图 $H \subseteq Q_k$，存在一个 $Q_n$ 的 $H$-打包，使得未覆盖顶点数最多为 $O(n^c)$，其中 $c = c(H)$，从而证明了近乎完美铺砌的结果。
• 误差项 $O(n^c)$ 在紧致意义下不可改进，如 $(P_3)^3$-打包情形所示。
• 对于 $(P_3)^3$，任意 $Q_n$ 打包至少会留下 $\log n$ 个未覆盖顶点，表明误差项无法小于 $\log n$。
• 任何 $(P_3)^3$-打包中未覆盖顶点的集合构成 $[n]$ 的一个分离系统，这通过已知的极值组合学结果意味着 $\log n$ 的下界。
• 通过在大 $n$ 下构造 $(P_{2|H|}})^n$ 的完美 $H$-打包，并结合覆盖论证，可得到 $Q_n$ 的 $O(n^c)$ 误差界。
• 本文表明，对 $(P_l)^t$-打包，$O(n^{t-1})$ 的误差项在对数因子内已达到最优，因为当 $t=3$ 时 $\log n$ 是下界。