[论文解读] Almost sure contraction for diffusions on $\\mathbb R^d$. Application to generalised Langevin diffusions

Pierre Monmarché|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 34被引用 4

一句话总结

该论文为具有常数扩散矩阵的 $\mathbb{R}^d$ 上的扩散过程建立了几乎必然收缩性，证明了确定性漂移收缩性与所有 $p \in [1, \infty]$ 下 $\mathcal{W}_p$ Wasserstein 距离的指数收缩性之间存在等价关系。该结果被应用于广义朗之万扩散过程，表明在凸势能和高阻尼条件下存在收缩性，将先前结果扩展至非平衡、非可逆或非超椭圆的设定之外。

ABSTRACT

In the case of diffusions on $\\mathbb R^d$ with constant diffusion matrix, without assuming reversibility nor hypoellipticity, we prove that the contractivity of the deterministic drift is equivalent to the constant rate contraction of Wasserstein distances $\\mathcal W_p$, $p\\in[1,\\infty]$. It also implies concentration inequalities for ergodic means of the process. Such a contractivity property is then established for some non-equilibrium chains of anharmonic oscillators and for some generalised Langevin diffusions when the potential is convex with bounded Hessian and the friction is sufficiently high. This extends previous known results for the usual (kinetic) Langevin diffusion.

研究动机与目标

• 建立常数扩散矩阵下 $\mathbb{R}^d$ 上扩散过程的确定性漂移收缩性与 $\mathcal{W}_p$ Wasserstein 距离指数收缩性之间的一般等价性。
• 将已知的收缩结果扩展至非可逆或非超椭圆扩散过程，特别是非平衡广义朗之万过程。
• 提供广义朗之万扩散过程表现出几乎必然收缩性的条件，即使在不满足可逆性或超椭圆性时亦成立。
• 证明势能的凸性与足够高的阻尼参数足以实现收缩，推广了对过阻尼和动力朗之万扩散过程的先前结果。

提出的方法

• 使用耦合论证和半群插值技术，将梯度收缩与 Wasserstein 距离收缩联系起来。
• 以修改形式应用 Bakry-Émery 曲率框架，引入一个垂直的 carré du champ $\Gamma^Z$ 以处理退化扩散过程。
• 采用修改后的生成元 $\mathcal{L}^*$ 和对偶论证分析其对偶半群，从而实现收缩估计。
• 引入与正定矩阵 $K$ 相关的范数 $\|\cdot\|_K$，以定义与动力学相容的黎曼结构。
• 通过在对偶半群 $R_t$ 上的谱界，利用矩阵不等式和算子范数，推导出 $\mathcal{W}_{K,2}$ 距离的指数衰减估计。
• 应用 hypocoercivity 和对偶性结果，证明 $\|P_t f\|_{L^2(\mu_\infty)} \leq \sqrt{\eta_t} \|f\|_{L^2(\mu_\infty)}$，其中 $\eta_t = 3|N^{-1}||N|e^{-2\rho t}$，从而蕴含 $L^2$ 衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设可逆性或超椭圆性的情况下，$\mathbb{R}^d$ 上一般扩散过程的漂移收缩性是否与 $\mathcal{W}_p$ 距离的指数收缩性等价？
• RQ2 具有凸势能和高阻尼的广义朗之万扩散过程是否能在非可逆条件下表现出几乎必然收缩性？
• RQ3 势能 $U$ 和阻尼参数 $\gamma$ 需满足何种条件，才能在非平衡扩散过程中实现 Wasserstein 距离的指数收缩？
• RQ4 当缺乏 Bakry-Émery 曲率（即 $\rho = -\infty$）时，动力扩散的收缩性质如何受到影响？
• RQ5 当标准曲率条件不成立时，能否通过使用对偶性和修改后的生成元来建立 $\mathcal{W}_p$ 距离的收缩性？

主要发现

• 在常数扩散矩阵下，且无需可逆性或超椭圆性假设时，确定性漂移的收缩性与所有 $p \in [1, \infty]$ 下 $\mathcal{W}_p$ 距离的指数收缩性等价。
• 对于广义朗之万扩散过程，当势能 $U$ 为凸且 Hessian 矩阵有界，且阻尼 $\gamma$ 足够大时，收缩性成立。
• 收缩率 $\rho > 0$ 显式地由 $U$ 的 Hessian 界、阻尼 $\gamma$ 以及与动力学相关的矩阵 $N$ 所界定。
• 论文在相同条件下建立了过程遍历均值的集中不等式，将路径上的收缩性与统计集中性联系起来。
• 收缩结果在对偶意义下具有鲁棒性：对偶半群 $R_t$ 满足 $\|P_t f\|_{L^2(\mu_\infty)} \leq \sqrt{\eta_t} \|f\|_{L^2(\mu_\infty)}$，其中 $\eta_t = 3|N^{-1}||N|e^{-2\rho t}$，从而蕴含 $L^2$ 衰减。
• 通过引入垂直的 carré du champ $\Gamma^Z$，该方法可推广至非可逆过程，即使在标准 Bakry-Émery 曲率为 $-\infty$ 时也能实现收缩估计。