[论文解读] Almost sure global well-posedness for the energy supercritical NLS on the unit ball of $\mathbb{R}^3$

Mouhamadou Sy, Xueying Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文通过概率方法，建立了在 $ ^3$ 的单位球上能量超临界非线性薛定谔方程（NLS）的几乎必然全局适定性。即使在确定性框架下缺乏无条件全局正则性，本文仍证明了对亚临界和超临界非线性项，解的几乎必然全局存在性与唯一性，且吉布斯测度保持不变，同时在时间上具有多项式有界性的索伯列夫范数，尽管在超临界情形下不存在守恒律。

ABSTRACT

In this paper, we present two almost sure global well-posedness (GWP) results for the energy supercritical nonlinear Schrödinger equations (NLS) on the unit ball of $\Bbb R^3$ using two different approaches. First, for the NLS with algebraic nonlinearities with the subcritical initial data, we show the almost sure global well-posedness and the invariance of the underlying measures, and establish controls on the growth of Sobolev norms of the solutions. This global result is based on a deterministic local theory and a probabilistic globalization. Second, for the NLS with generic power nonlinearities with critical and supercritical initial conditions, we prove the almost sure global well-posedness, and the invariance of the measure under the solution flows. This global result is built on a compactness argument and the Skorokhod representation theorem.

研究动机与目标

• 在确定性全局正则性未知的情况下，建立 $ ^3$ 单位球上能量超临界非线性薛定谔方程（NLS）的几乎必然全局适定性。
• 证明在能量超临界 regime 下，NLS 流下吉布斯型测度的不变性。
• 在超临界设定下，尽管缺乏守恒律，仍几乎必然地控制解的索伯列夫范数的增长。
• 将概率全局适定性结果扩展至具有代数与一般幂次非线性的亚临界及临界/超临界初值。
• 构建一个结合确定性局部理论与概率全局化的框架，用于超临界 NLS。

提出的方法

• 对于亚临界正则性，作者采用确定性局部适定性理论，并结合基于大偏差估计的概率全局化论证。
• 对于临界与超临界初值，他们利用斯科罗霍德表示定理的紧致性论证，提取伽辽金逼近的几乎必然收敛子列。
• 不变测度的构造依赖于伽辽金逼近下有限维吉布斯测度的不变性，以及通过弱收敛得到极限不变测度。
• 作者利用涨落-耗散原理来定义并分析单位球上 NLS 哈密顿量相关的吉布斯测度。
• 他们应用瑞利-孔德拉乔夫定理与卡托-蓬斯不等式，在索伯列夫空间框架下控制嵌入与交换子估计。
• 测度不变性的证明依赖于有限维逼近的不变性，以及通过普罗霍罗夫定理获得测度序列的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当确定性全局正则性失效时，能否在 $ ^3$ 单位球上建立能量超临界 NLS 的几乎必然全局适定性？
• RQ2 与 NLS 哈密顿量相关的吉布斯测度在能量超临界 NLS 流下是否保持不变？
• RQ3 能否在超临界参数下，对几乎所有初值建立解的索伯列夫范数在时间上的多项式有界性？
• RQ4 在超临界设定下，如何利用概率方法克服守恒律的缺失？
• RQ5 在缺乏确定性全局控制的情况下，斯科罗霍德表示定理与紧致性论证在构造全局解方面能发挥多大作用？

主要发现

• 对于具有代数非线性项与亚临界初值的 $ ^3$ 单位球上能量超临界 NLS，本文建立了几乎必然全局适定性。
• 即使在能量超临界 regime 下，与 NLS 相关的吉布斯测度在解流下仍保持不变。
• 在亚临界情形下，解的索伯列夫范数的增长被几乎必然地以时间的多项式形式有界，且对初值一致。
• 对于临界与超临界初值，作者通过紧致性论证与斯科罗霍德表示定理证明了解的几乎必然全局存在性。
• 从伽辽金逼近得到的极限测度被证明是不变的，且几乎必然地支撑在具有有限索伯列夫范数的函数上。
• 本文构建了一个概率框架，在缺乏确定性守恒律（尤其在超临界设定下）时实现了全局控制。