[论文解读] Almost-Tight Distributed Minimum Cut Algorithms

Danupon Nanongkai, Hsin-Hao Su|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了首个在 CONGEST 模型中计算精确最小割的亚线性时间确定性算法，运行时间为 $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\lambda^4\log^2n)$，并设计了一个近乎最优的 $(1+\epsilon)$-近似算法，运行时间为 $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\epsilon^{-5}\log^3n)$。该方法结合了 Thorup 的树打包技术、Karger 的采样方法与动态规划，利用生成树的性质来隔离最小割。

ABSTRACT

We study the problem of computing the minimum cut in a weighted distributed message-passing networks (the CONGEST model). Let $λ$ be the minimum cut, $n$ be the number of nodes in the network, and $D$ be the network diameter. Our algorithm can compute $λ$ exactly in $O((\sqrt{n} \log^{*} n+D)λ^4 \log^2 n)$ time. To the best of our knowledge, this is the first paper that explicitly studies computing the exact minimum cut in the distributed setting. Previously, non-trivial sublinear time algorithms for this problem are known only for unweighted graphs when $λ\leq 3$ due to Pritchard and Thurimella's $O(D)$-time and $O(D+n^{1/2}\log^* n)$-time algorithms for computing $2$-edge-connected and $3$-edge-connected components. By using the edge sampling technique of Karger's, we can convert this algorithm into a $(1+ε)$-approximation $O((\sqrt{n}\log^{*} n+D)ε^{-5}\log^3 n)$-time algorithm for any $ε>0$. This improves over the previous $(2+ε)$-approximation $O((\sqrt{n}\log^{*} n+D)ε^{-5}\log^2 n\log\log n)$-time algorithm and $O(ε^{-1})$-approximation $O(D+n^{\frac{1}{2}+ε} \mathrm{poly}\log n)$-time algorithm of Ghaffari and Kuhn. Due to the lower bound of $Ω(D+n^{1/2}/\log n)$ by Das Sarma et al. which holds for any approximation algorithm, this running time is tight up to a $ \mathrm{poly}\log n$ factor. To get the stated running time, we developed an approximation algorithm which combines the ideas of Thorup's algorithm and Matula's contraction algorithm. It saves an $ε^{-9}\log^{7} n$ factor as compared to applying Thorup's tree packing theorem directly. Then, we combine Kutten and Peleg's tree partitioning algorithm and Karger's dynamic programming to achieve an efficient distributed algorithm that finds the minimum cut when we are given a spanning tree that crosses the minimum cut exactly once.

研究动机与目标

• 通过在 CONGEST 模型中为一般加权图提供首个亚线性时间精确算法，填补分布式最小割计算中的空白。
• 设计一个 $(1+\epsilon)$-近似算法，使其在多对数因子范围内达到已知下界。
• 扩展先前仅限于 $\lambda \leq 3$ 的工作，实现对任意 $\lambda$ 的精确计算与更优的近似比。
• 通过结合树打包、采样与高效的分布式 MST 计算，实现紧致的运行时间界限。

提出的方法

• 利用 Thorup 的树打包定理，确保以高概率存在一棵生成树恰好穿过最小割一次。
• 采用 Karger 的边采样技术，在保持最小割值在 $(1+\epsilon)$ 因子内的前提下减小图的规模。
• 应用 Matula 的收缩算法的改进版本，迭代地减少图的规模，确保每轮迭代中边数呈几何级下降。
• 使用 Kutten 和 Peleg 的树划分算法，在 $O(\sqrt{n}\log^{*}n + D)$ 时间内高效计算最小生成树。
• 在树上结合动态规划与基于负载的边选择策略，识别出恰好穿过一次的树中的最小割。
• 集成 Ghaffari 和 Kuhn 的近似算法，以构建 $\lambda$ 的 3-近似值，从而支持递归优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 CONGEST 模型中为一般加权图实现亚线性时间精确计算最小割？
• RQ2 在亚线性时间内可达到的最佳近似比是多少？是否可以将结果改进至 $2+\epsilon$ 以下？
• RQ3 能否使分布式最小割算法的运行时间近乎紧致，使其与已知下界在多对数因子范围内匹配？
• RQ4 如何在分布式环境中结合树打包与采样技术，以高效隔离最小割？

主要发现

• 本文提出了首个在 CONGEST 模型中为加权图计算精确最小割的确定性亚线性时间算法，运行时间为 $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\lambda^4\log^2n)$。
• 其在 $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\epsilon^{-5}\log^3n)$ 时间内实现 $(1+\epsilon)$-近似，由于已知的 $\Omega(D + n^{1/2}/\log n)$ 下界，该结果在多对数因子范围内达到最优。
• 与先前的 $(2+\epsilon)$-近似和 $O(\epsilon^{-1})$-近似算法相比，该算法降低了 $\epsilon$ 的指数并消除了 $\log\log n$ 因子。
• 通过结合 Thorup 的树打包、Karger 的采样与动态规划，相比直接应用 Thorup 定理，该方法节省了 $\epsilon^{-9}\log^7 n$ 的因子。
• 精确最小割可在 $O(\lambda^4\log^2n(D + \sqrt{n}\log^{*}n))$ 轮内计算完成，其中 $\lambda$ 通过 3-近似步骤估计。
• $\lambda$ 的 $(1+\epsilon)$-近似值可在 $O(\epsilon^{-5}\log^2n\log\log n(D + \sqrt{n}\log^{*}n))$ 轮内计算，与目前已知的最佳下界在多对数因子范围内匹配。