[论文解读] Distributed Minimum Cut Approximation

Mohsen Ghaffari, Fabian Kühn|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 27

一句话总结

本文在 CONGEST 模型下提出了两种用于近似加权图中最小边割的分布式算法，实现了近乎最优的时间复杂度。第一种算法采用一种新颖的随机分层技术来采样边，并在 O(D) + Õ(n^{1/2+ε}) 轮内找到大小为 O(ε⁻¹λ) 的割；第二种算法将 Matula 的集中式算法适配到分布式环境，实现了 (2+ε)-近似解，时间复杂度为 Õ((D+√n)/ε⁵)，几乎匹配已知的 Ω(D+√n) 下界。

ABSTRACT

We study the problem of computing approximate minimum edge cuts by distributed algorithms. We use a standard synchronous message passing model where in each round, $O(\log n)$ bits can be transmitted over each edge (a.k.a. the CONGEST model). We present a distributed algorithm that, for any weighted graph and any $ε\in (0, 1)$, with high probability finds a cut of size at most $O(ε^{-1}λ)$ in $O(D) + ilde{O}(n^{1/2 + ε})$ rounds, where $λ$ is the size of the minimum cut. This algorithm is based on a simple approach for analyzing random edge sampling, which we call the random layering technique. In addition, we also present another distributed algorithm, which is based on a centralized algorithm due to Matula [SODA '93], that with high probability computes a cut of size at most $(2+ε)λ$ in $ ilde{O}((D+\sqrt{n})/ε^5)$ rounds for any $ε>0$. The time complexities of both of these algorithms almost match the $ ildeΩ(D + \sqrt{n})$ lower bound of Das Sarma et al. [STOC '11], thus leading to an answer to an open question raised by Elkin [SIGACT-News '04] and Das Sarma et al. [STOC '11]. Furthermore, we also strengthen the lower bound of Das Sarma et al. by extending it to unweighted graphs. We show that the same lower bound also holds for unweighted multigraphs (or equivalently for weighted graphs in which $O(w\log n)$ bits can be transmitted in each round over an edge of weight $w$), even if the diameter is $D=O(\log n)$. For unweighted simple graphs, we show that even for networks of diameter $ ilde{O}(\frac{1}λ\cdot \sqrt{\frac{n}{αλ}})$, finding an $α$-approximate minimum cut in networks of edge connectivity $λ$ or computing an $α$-approximation of the edge connectivity requires $ ildeΩ(D + \sqrt{\frac{n}{αλ}})$ rounds.

研究动机与目标

• 为在大规模网络中设计高效分布式算法以近似最小边割这一开放问题提供解决方案。
• 弥合分布式最小割近似问题中最佳已知上界与现有下界之间的差距。
• 将 Das Sarma 等人的下界结果扩展至无权多重图与简单图，从而强化分布式计算的理论极限。
• 提出一种新的分析框架——随机分层，用于研究分布式环境中随机边采样的性质，该框架可推广至最小割问题之外。

提出的方法

• 提出一种新颖的随机分层技术，用于分析随机采样子图的连通性性质，证明当采样概率 p = Ω(log n / λ) 时，图以高概率保持连通。
• 设计一种分布式算法，以 p = Θ(log n / λ) 的概率采样边，并通过局部计算在 O(D) + Õ(n^{1/2+ε}) 轮内识别出小割。
• 将 Matula 的集中式 (2+ε)-近似算法与 Thurimella 的稀疏边连通性证书以及 Karger 的随机稀疏化技术相结合，设计出第二种时间复杂度为 Õ((D+√n)/ε⁵) 的算法。
• 通过从集合不相交问题的归约构造困难实例，以建立分布式最小割近似的时间下界。
• 通过将节点替换为团、边替换为完全二分图或单条边，将下界构造适配至无权多重图与简单图，同时保持边连通性与直径特性。
• 采用参数化构造方法，在团之间添加纵向连接，以保持直径为 O(D') 的同时，将此类连接数量限制在 λ 以内，从而实现紧致的下界分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种分布式算法，在 CONGEST 模型中以接近已知下界 Ω(D + √n) 的时间复杂度近似最小边割？
• RQ2 对于分布式最小割计算，近似因子与时间复杂度之间最优权衡为何？
• RQ3 如何利用如随机分层等新型分析技术，在分布式环境中分析随机边采样？
• RQ4 加权图的 Ω(D + √n) 下界是否可推广至无权多重图与简单图？
• RQ5 即使在边连通性未知的情况下，我们能否在接近理论下界的时间内实现最小割的 (2+ε)-近似？

主要发现

• 第一种算法以高概率在 O(D) + Õ(n^{1/2+ε}) 轮内计算出大小至多为 O(ε⁻¹λ) 的割，几乎匹配 Ω(D + √n) 的下界。
• 第二种算法在 Õ((D + √n)/ε⁵) 轮内实现 (2+ε)-近似解，优于以往的分布式方法，且几乎匹配已知下界。
• 本文将 Das Sarma 等人的下界结果强化至无权多重图，表明即使边容量随权重缩放，Ω(D + √n) 轮也是必需的。
• 对于无权简单图，当满足特定直径约束时，α-近似最小割或边连通性计算的下界为 Ω(D + √(n/(αλ))) 轮。
• 随机分层技术提供了一种简洁、自包含的证明，表明当 p = Ω(log n / λ) 时，边采样可确保以高概率保持连通，与已知最优阈值一致。
• 下界困难实例的构造表明，即使已知边连通性 λ，要以因子 α 近似最小割，仍需 Ω(min{k/(B log n), ℓ}) 轮，最终导出 Ω(D + √(n/(αλ))) 的下界。