[论文解读] Altering symplectic manifolds by homologous recombination

Mohammed Abouzaid, Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 31

一句话总结

本文提出一种名为“同源重组”的新技术，通过操控Lefschetz纤维化，在高维开对称流形（包括复仿射簇和余切丛）上构造出无穷多个非对称微分同胚的有限类型Liouville结构。关键贡献在于可在保持几乎对称微分类型的同时，通过系数域的特征控制对称上同调的消失或非消失，从而证明了微分同胚之外的对称结构非唯一性。

ABSTRACT

We use symplectic cohomology to study the non-uniqueness of symplectic structures on the smooth manifolds underlying affine varieties. Starting with a Lefschetz fibration on such a variety and a finite set of primes, the main new tool is a method, which we call homologous recombination, for constructing a Lefschetz fibration whose total space is smoothly equivalent to the original variety, but for which symplectic cohomology with coefficients in the given set of primes vanishes (there is also a simpler version that kills symplectic cohomology completely). Rather than relying on a geometric analysis of periodic orbits of a flow, the computation of symplectic cohomology depends on describing the Fukaya category associated to the new fibration. As a consequence of this and a result of McLean we prove, for example, that an affine variety of real dimension greater than 4 supports infinitely many different (Wein)stein structures of finite type, and, assuming a mild cohomological condition, uncountably many different ones of infinite type. In addition, we introduce a notion of complexity which measures the number of handle attachments required to construct a given Weinstein manifold, and prove that, in dimensions greater than or equal to 12, one may ensure that the infinitely many different Weinstein manifolds smoothly equivalent to a given algebraic variety have bounded complexity.

研究动机与目标

• 证明在有限类型Liouville流形上，特别是实维数≥6的复仿射簇上，对称结构的非唯一性。
• 展示可通过一种新的拓扑构造——同源重组，控制对称上同调，使其根据系数域的特征表现出消失或非消失行为。
• 构造出无穷多对几乎对称微分同胚但彼此非对称微分同胚的Liouville流形族，即使复杂度有界。
• 通过在边界上取适当调校的域的无限边界连通和，将这些结果推广至无限类型Liouville流形。

提出的方法

• 将原始Liouville流形表示为Lefschetz纤维化，以应用对称Picard-Lefschetz理论。
• 执行“同源重组”——一种受生物学启发的拓扑操作——以修改纤维化结构，从而生成具有改变的对称上同调的新Liouville定义域。
• 使用具有受控对称上同调的特殊构造Liouville域$U$或$ ilde{U}_q$进行边界连通和，其上同调在有限域上可控。
• 利用Viterbo限制映射，将结果流形的对称上同调与各分量上同调的直和或直积关联起来。
• 应用具有整系数和模-$p$系数的对称上同调的长正合列，通过$p$-整除性检测非消失行为。
• 通过取有限类型域的递增并集构造无限类型流形，利用对称上同调的无限积来通过不同域上的维数性区分结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在保持Liouville流形的几乎对称微分类型的同时，受控地改变其对称上同调？
• RQ2 是否可能在单个开流形上构造出无穷多个非对称微分同胚的对称结构，即使复杂度有界？
• RQ3 是否可使同一底流形在某些域上（如特征$p$）的对称上同调消失，而在其他域上（如特征0）保持非零？
• RQ4 系数域的选择如何影响通过同源重组构造的流形的对称上同调？
• RQ5 是否可通过无限边界连通和，构造出在不同域上具有不同对称上同调的无限类型Liouville流形？

主要发现

• 对于任意实维数≥6的光滑复仿射簇$X$，存在一个与$X$几乎对称微分同胚的有限类型Liouville流形$ ilde{X}$，其在任意系数域上的对称上同调均消失。
• 对于此类簇，存在一个无限序列的有限类型Liouville流形$ ilde{X}_k$，它们均与$X$几乎对称微分同胚，但因在$ar{bF}_p$上对称上同调不同而彼此非对称微分同胚。
• 对于实维数≥12的簇，可构造$ ilde{X}$，使得其对称上同调在$bF_p$上消失当且仅当$p$整除某固定整数$q$，而在$p$不整除$q$时保持非零，包括在特征0时。
• 结果流形$ ilde{X}_k$的对称上同调同构于固定域$U$的对称上同调的$k$重直和，从而可通过偶部中方程$x^p = x$的解数加以区分。
• 通过在固定Lefschetz纤维化上使用同源重组的有界复杂度构造，$ ilde{X}_q$尽管彼此非对称微分同胚，但复杂度保持一致有界。
• 无限类型Liouville流形可作为有限类型域的并集构造，使得其在$bF_p$上的对称上同调（当$p$整除某$q_k$时）为可数，而在$p$不整除任何$q_k$时为不可数——通过维数性证明其结构差异。