[论文解读] Effect of Legendrian Surgery

Frédéric Bourgeois, Tobias Ekholm+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 18

一句话总结

本文在 Weinstein 流形上对 Legendrian 切手手术建立了辛和接触不变量的手术正合三角形——具体而言是线性化接触同调与辛同调。证明了对 Chekanov 的两个 (5,2)-环形扭结进行 Legendrian 切手手术会得到非接触微分同胚的 3-流形，并通过拉格朗日子柄附着在 $T^*S^n$ 上构造出奇异辛结构（$n > 3$），并借助 Ganatra 与 Maydanskiy 的附录证实了 Seidel 的一个猜想。

ABSTRACT

The paper is a summary of the results of the authors concerning computations of symplectic invariants of Weinstein manifolds and contains some examples and applications. Proofs are sketched. The detailed proofs will appear in our forthcoming paper. In the Appendix written by S. Ganatra and M. Maydanskiy it is shown that the results of this paper imply P. Seidel's conjecture equating symplectic homology with Hochschild homology of a certain Fukaya category.

研究动机与目标

• 计算 Legendrian 切手手术后 Weinstein 流形的辛不变量。
• 为线性化接触同调与辛同调建立手术正合三角形。
• 证明在 $S^3$ 中对 Chekanov 的两个 (5,2)-扭结进行 Legendrian 切手手术会得到非接触微分同胚的接触 3-流形。
• 通过拉格朗日子柄附着在 $T^*S^n$ 上构造奇异辛结构。
• 利用本文结果证实 P. Seidel 关于辛 Dehn 扭转的猜想。

提出的方法

• 使用全纯曲线模空间来定义代数不变量。
• 通过线性化接触同调与约化/完整辛同调来定义辛不变量。
• 应用 Legendrian 同调代数，并采用类似循环同调与 Hochschild 同调的构造方法。
• 为辛和接触不变量制定手术正合三角形。
• 使用 Morse-Bott Reeb 弦分析与刚性流形树来计算微分。
• 借助 Ganatra 与 Maydanskiy 的附录，从主结果推导出 Seidel 的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 Legendrian 切手手术如何影响具有边界的接触流形的线性化接触同调？
• RQ2 在 Weinstein 流形中，拉格朗日子柄附着如何影响辛同调的行为？
• RQ3 Legendrian 切手手术能否区分非同伦的 Legendrian 扭结，例如 Chekanov 的 (5,2)-扭结？
• RQ4 拉格朗日子柄附着是否会在 $T^*S^n$ 上产生奇异辛结构？
• RQ5 该手术形式是否蕴含 P. Seidel 关于辛 Dehn 扭转的猜想？

主要发现

• 对 $S^3$ 中 Chekanov 的两个 (5,2)-扭结进行 Legendrian 切手手术会产生非接触微分同胚的 3-流形。
• 在 $S^3$ 中对 Legendrian 球面 $ ilde{ heta}$ 进行切手手术，会在 $T^*S^n$（$n > 3$）上产生奇异辛结构，其中余核心 Legendrian 球面在度数 1 处具有秩为 1 的线性化 Legendrian 同调。
• 通过每个最小弦有两个外向流线的刚性流形树，确认了微分 $db_k^{ ext{min}} = 1$ 对于 $k=1,2$ 成立。
• 建立了线性化接触同调的手术正合三角形，且明确计算出余核心 Legendrian 球面的同调。
• 完整辛同调可通过手术三角形给出闭式公式，如推论 5.7 所述。
• 结果表明 P. Seidel 关于辛 Dehn 扭转的猜想成立，如 Ganatra 与 Maydanskiy 的附录所示。