[论文解读] Alternated Hochschild Cohomology

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文通过在奇变量上反对称的链复上构造一个分次李代数结构，使用格伦斯坦哈伯括号的部分反对称化，提出了一种新的李反代数上同调理论。关键贡献在于定义了李反代数的霍奇希尔德型上同调，其显式非平凡上循环类比于盖尔范德-富克斯类与戈德比永-维类，为这些代数建立了上同调框架。

ABSTRACT

In this paper we construct a graded Lie algebra on the space of cochains on a $\mathbbZ_2$-graded vector space that are skew-symmetric in the odd variables. The Lie bracket is obtained from the classical Gerstenhaber bracket by (partial) skew-symmetrization; the coboundary operator is a skew-symmetrized version of the Hochschild differential. We show that an order-one element $m$ satisfying the zero-square condition $[m,m]=0$ defines an algebraic structure called "Lie antialgebra". The cohomology (and deformation) theory of these algebras is then defined. We present two examples of non-trivial cohomology classes which are similar to the celebrated Gelfand-Fuchs and Godbillon-Vey classes.

研究动机与目标

• 通过在奇变量上反对称的链复上构造新的分次李代数结构，发展李反代数的上同调理论。
• 通过反对称化的霍奇希尔德微分定义上边缘算子，推广经典上同调理论。
• 确立第二上同调空间与第一上同调空间在分类李反代数及其模的扩张中的上同调意义。
• 构造显式非平凡上同调类，类比于无限维李代数中著名的盖尔范德-富克斯类与戈德比永-维类。

提出的方法

• 在 ℤ²-分次向量空间上的多重线性映射上构造分次李代数，要求在奇分量上反对称，使用格伦斯坦哈伯括号的部分反对称化。
• 通过满足 [m, m] = 0 的一阶元素 m 定义上边缘算子 δ = adₘ，利用分次雅可比恒等式保证 δ² = 0。
• 推导出微分的显式组合公式，表明其在霍奇希尔德微分与契瓦莱伊-艾伦伯格微分之间插值。
• 将李反代数定义为满足 [m, m] = 0 的双线性映射 m，其在偶分量上对称，在奇分量上反对称。
• 利用李反代数在对偶空间上的作用构造 1-上循环与 2-上循环，通过显式计算验证上循环条件。
• 猜想第一上同调空间 H¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*) 为一维，由非平凡 1-上循环 γ(εₙ) = -nε*₋ₙ, γ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢ 生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在仅对奇变量反对称的链复上定义分次李代数结构？其与格伦斯坦哈伯代数及尼延胡伊斯-理查森代数的关系为何？
• RQ2 李反代数的上同调理论是什么？其如何推广霍奇希尔德上同调？
• RQ3 能否在李反代数语境下构造类比于盖尔范德-富克斯类与戈德比永-维类的非平凡上同调类？
• RQ4 第一与第二上同调空间在李反代数及其模的扩张中具有何种代数解释？

主要发现

• 通过 γ(εₙ) = -nε*₋ₙ 与 γ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢ 构造了李反代数 𝒜𝕂(1) 上的非平凡 1-上循环 γ，其满足 1-上循环条件且在偶分量上为零，证明其非平凡。
• 该 1-上循环 γ 被猜想生成一维第一上同调空间 H¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*)，其在偶分量上反对称、在奇分量上对称，因此不能解释为平凡系数下的 2-上循环。
• 在李反代数 𝒟¹ 上定义了非平凡 2-上循环 η = a*₋₁⁄₂ ∧ a*₁⁄₂ ⊗ ε*₀，其非上边界，且被猜想生成一维第二上同调空间。
• 该 2-上循环满足上循环条件，且不与零上同调，提示其可能具有类似经典戈德比永-维上循环的拓扑或特征类解释。
• 链复中的微分被证明在霍奇希尔德微分与契瓦莱伊-艾伦伯格微分之间插值，反映了该上同调理论的混合性质。
• 第二上同调空间分类李反代数的扩张，第一上同调空间分类模的扩张，确认了该理论的上同调意义。