[论文解读] Amenability of Closed Subgroups and Orlicz Spaces

Yaroslav Kopylov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文证明了，对于第二可数局部紧群 $G$ 的闭子群 $H$，当且仅当其在 Orlicz 空间 $L^\Phi(G)$ 上的左正则表示几乎具有不变向量时，$H$ 是可约的，其中 $\Phi$ 是一个 $\Delta_2$-正则的 $N$-函数。此外，本文还表明，一个非紧致的第二可数局部紧群 $G$ 是可约的，当且仅当其一阶上同调空间 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 不是 Hausdorff 空间，从而将经典的通过 Orlicz 空间表示和上同调准则刻画可约性的结果推广到了 $L^\Phi$-空间，其中 $\Phi$ 为 $\Delta_2$-正则的 $N$-函数。

ABSTRACT

We prove that a closed subgroup $H$ of a second countable locally compact group $G$ is amenable if and only if its left regular representation on an Orlicz space $L^Φ(G)$ for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$ almost has invariant vectors. We also show that a noncompact second countable locally compact group $G$ is amenable if and ony if the first cohomology space $H^1(G,L^Φ(G))$ is non-Hausdorff for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$.

研究动机与目标

• 通过使用 Orlicz 空间而非 $L^p$-空间，推广第二可数局部紧群的闭子群可约性的刻画。
• 将可约性的上同调刻画推广至具有 $\Delta_2$-正则 $N$-函数的 Orlicz 空间 $L^\Phi(G)$。
• 建立一阶上同调空间 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 的非 Hausdorff 性质与非紧致群可约性之间的联系。
• 证明左正则表示在 $L^\Phi(G)$ 上的几乎不变向量性质，可刻画闭子群的可约性。

提出的方法

• 使用由 $\Delta_2$-正则 $N$-函数 $\Phi$ 定义的 Orlicz 空间 $L^\Phi(G)$，其指标范数为 $\|f\|_{(\Phi)} = \inf\{k > 0 : \int_G \Phi(|f(x)/k|) d\mu_G(x) \leq 1\}$。
• 应用 Rao–Reiter 条件 $(P_\Phi)$，该条件要求在紧集和小 $\varepsilon > 0$ 下，$L^\Phi(G)$ 中存在几乎不变的函数，以刻画可约性。
• 通过涉及导数 $\varphi = \Phi'$ 及其左逆 $\psi$ 的范数估计，证明闭子群 $H$ 在 $L^\Phi(G)$ 上的左正则表示几乎具有不变向量，当且仅当 $H$ 是可约的。
• 利用 Borel 截面 $\sigma: G/H \to G$ 将函数从 $G/H$ 提升至 $H$，保持范数和上循环结构。
• 利用 Guichardet 的结果：$H^1(G,V) = \overline{H}^1(G,V)$ 当且仅当 $V$ 不几乎具有不变向量，将其应用于 $V = L^\Phi(G)$。
• 证明当 $G$ 非紧致时，有 $L^\Phi(G)^G = 0$，因此上同调准则适用，从而得出非 Hausdorff 上同调与非可约性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\Delta_2$-正则 $N$-函数 $\Phi$，左正则表示在 $L^\Phi(G)$ 上的几乎不变向量性质是否刻画了闭子群 $H$ 的可约性？
• RQ2 经典的通过 Reiter 条件 $(P_p)$ 刻画可约性的准则，能否从 $L^p$-空间推广至 Orlicz 空间 $L^\Phi(G)$？
• RQ3 一阶上同调空间 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 是非 Hausdorff 的，当且仅当 $G$ 是非紧致且非可约的吗？
• RQ4 当 $G$ 是非紧致且第二可数时，$L^\Phi(G)$ 的上同调结构如何反映 $G$ 的可约性？

主要发现

• 第二可数局部紧群 $G$ 的闭子群 $H$ 是可约的，当且仅当其在 $L^\Phi(G)$ 上的左正则表示对某个 $\Delta_2$-正则 $N$-函数 $\Phi$ 几乎具有不变向量。
• 对于非紧致的第二可数局部紧群 $G$，一阶上同调空间 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 是非 Hausdorff 的，当且仅当 $G$ 不是可约的。
• 证明依赖于 Rao 建立的 $(P_\Phi)$ 条件与可约性之间的等价性，并将其推广至 Orlicz 空间设定。
• 在 $L^\Phi(G)$ 中的范数估计使用了导数 $\varphi = \Phi'$ 及其左逆 $\psi$，其中不等式 $|\Phi(a) - \Phi(b)| \leq |a - b|(\varphi(a) + \varphi(b))$ 起到关键作用。
• 通过将 Guichardet 定理应用于 $L^\Phi(G)$，其中由于非紧致 $G$ 上的无限 Haar 测度，有 $L^\Phi(G)^G = 0$，从而确保了定理条件成立，由此导出上同调准则。
• 该结果推广了定理 B（在 $L^p$-空间上的结果）至 Orlicz 空间，表明 $H \leq G$ 的可约性等价于 $\lambda_G(H)$ 在 $L^\Phi(G)$ 上的几乎不变向量性质。