[论文解读] Amenability versus property (T) for non locally compact topological groups

Vladimir Pestov|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

本文证明：对于具有足够单位表示的SIN群，可均性与强性质(T)蕴含预紧性，通过构造一个完备、可分、极小几乎周期的波兰群，该群具有性质(T)但无有限卡兹丹集，从而推翻贝卡的猜想。此外，本文还证明：具有性质(T)的拓扑群类在赋予乘积拓扑的任意无限乘积下是封闭的。

ABSTRACT

For locally compact groups amenability and Kazhdan's property (T) are mutually exclusive in the sense that a group having both properties is compact. This is no longer true for more general Polish groups. However, a weaker result still holds for SIN groups (topological groups admitting a basis of conjugation-invariant neighbourhoods of identity): if such a group admits sufficiently many unitary representations, then it is precompact as soon as it is amenable and has the strong property (T) (i.e. admits a finite Kazhdan set). If an amenable topological group with property (T) admits a faithful uniformly continuous representation, then it is maximally almost periodic. In particular, an extremely amenable SIN group never has strong property (T), and an extremely amenable subgroup of unitary operators in the uniform topology is never a Kazhdan group. This leads to first examples distinguishing between property (T) and property (FH) in the class of Polish groups. Disproving a 2003 conjecture by Bekka, we construct a complete, separable, minimally almost periodic topological group with property (T), having no finite Kazhdan set. Finally, as a curiosity, we observe that the class of topological groups with property (T) is closed under arbitrary infinite products with the usual product topology. A large number of questions about various particular topological groups remain open. The talk is based on the preprint arXiv:1512.01572v3 [math.GR], to appear in Trans. Am. Math. Soc., never before presented at a conference.

研究动机与目标

• 研究非局部紧致拓扑群中可均性与性质(T)之间的相互作用。
• 解决贝卡（2003年）提出的猜想：每个具有性质(T)的波兰群必须具有有限卡兹丹集。
• 澄清SIN群中性质(T)、强性质(T)与预紧性之间的关系。
• 通过新例子在波兰群类中区分性质(T)与性质(FH)。
• 确立具有性质(T)的群类在赋予乘积拓扑的任意无限乘积下是封闭的。

提出的方法

• 利用贝卡关于可均单位表示的概念以及文献[22]的结果，分析希尔伯特空间中的表示。
• 通过SIN群中具有分离单位表示的有限卡兹丹集，应用强性质(T)的概念。
• 使用超乘积技术分析几乎不变向量，并在无不变向量时导出矛盾。
• 利用无限I和无限简单卡兹丹群Γ的受限积b(I, Γ)构造反例。
• 对无限多个卡兹丹群应用乘积拓扑，证明其在任意无限乘积下保持封闭。
• 使用抽屉原理和坐标投影，证明某些群无法具有有限卡兹丹集。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有强性质(T)和分离单位表示的可均SIN群是否可能不是预紧的？
• RQ2 每个具有性质(T)的波兰群是否必然具有有限卡兹丹集？
• RQ3 在波兰群类中，性质(T)与性质(FH)能否被区分开？
• RQ4 具有性质(T)的拓扑群类在赋予乘积拓扑的任意无限乘积下是否封闭？
• RQ5 是否存在不具有有限卡兹丹集的极小几乎周期群，其具有性质(T)？

主要发现

• 一个具有强性质(T)和分离单位表示的可均SIN群是预紧的。
• 一个具有非平凡单位表示的可均SIN群若具有强性质(T)，则不能是极小几乎周期的。
• 赋予测度收敛拓扑的L0((0,1), T)群具有性质(T)，但无有限卡兹丹集。
• 赋予一致拓扑的I+K形式的酉算子群UC(ℓ2)不具有性质(T)。
• 具有性质(T)的拓扑群类在赋予乘积拓扑的任意无限乘积下是封闭的。
• 存在一个完备、可分、极小几乎周期的波兰群，具有性质(T)但无有限卡兹丹集，从而推翻了贝卡2003年的猜想。