[论文解读] An algebra of open continuous time dynamical systems and networks

Eugene Lerman, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文引入了一个关于满射子mersio的幺半双范畴，用于建模开放的连续时间动力系统及其互连，统一了子系统的代数复合与系统之间的态射。该工作推广了先前关于流形网络的研究，将网络的纤维化作为特例恢复。

ABSTRACT

Many systems of interest in science and engineering are made up of interacting subsystems. These subsystems, in turn, could be made up of collections of smaller interacting subsystems and so on. In a series of papers David Spivak with collaborators formalized these kinds of structures (systems of systems) as algebras over presentable colored operads. It is also very useful to consider maps between dynamical systems. This amounts to viewing dynamical systems as objects in an appropriate category. This is the point taken by DeVille and Lerman in the study of dynamics on networks. The goal of this paper is to describe an algebraic structure that encompasses both approaches to systems of systems. To this end we replace the monoidal category of wiring diagrams by a monoidal double category whose objects are surjective submersions. This allows us, on one hand, build new large open systems out of collections of smaller open subsystems and on the other keep track of maps between open systems. As a special case we recover the results of DeVille and Lerman on fibrations of networks of manifolds.

研究动机与目标

• 统一开放连续时间动力系统的代数复合与对这类系统之间映射的研究。
• 将基于接线图和操作符的现有框架扩展，以包含系统之间的态射。
• 为支持模块化构建与结构性关系的系统级系统提供范畴论基础。
• 在统一的代数结构中推广DeVille与Lerman关于流形网络纤维化的研究成果。
• 以与连续时间动力学相容的方式，形式化子系统及其映射之间的相互作用。

提出的方法

• 用一个对象为满射子mersio的幺半双范畴，替代原有的接线图的幺半范畴。
• 利用双范畴结构同时建模开放系统的复合与它们之间的态射。
• 将水平态射定义为系统（即满射子mersio），将垂直态射定义为这些系统之间的映射。
• 通过可呈现的彩色操作符构建代数结构，以形式化分层的、模块化的系统复合。
• 通过在框架中嵌入流形与光滑映射，确保与连续时间动力学的兼容性。
• 通过限制到适当的子范畴，将流形网络的纤维化作为特例恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持系统之间结构性关系的前提下，代数地组合开放的连续时间动力系统？
• RQ2 何种范畴框架能够同时支持系统的模块化组装与系统之间的映射？
• RQ3 所提出的结构如何推广现有流形网络及其纤维化的模型？
• RQ4 为何将满射子mersio作为对象使用，能增强对开放系统的建模能力？
• RQ5 该框架能否以一致的范畴方式，统一操作符的系统复合与系统之间的态射？

主要发现

• 所提出的满射子mersio的幺半双范畴为系统复合与系统之间映射的追踪提供了一个统一框架。
• 该构造通过在双范畴中将态射作为垂直箭头纳入，推广了操作符方法对系统级系统的处理。
• 该框架将DeVille与Lerman关于流形网络纤维化的研究成果作为特例恢复。
• 使用满射子mersio作为对象，使得边界条件与系统互连能够自然编码。
• 双范畴结构使得在单一代数形式中，对系统复合与系统态射进行一致处理成为可能。
• 该方法支持复杂动力系统的分层、模块化构建，同时保持对系统之间关系的分析能力。