[论文解读] An Algebraic Chain Model of String Topology

Xiaojun Chen|ArXiv.org|Aug 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文使用惠特尼多项式形式和电流，为闭合、定向流形的自由循环空间上的弦拓扑构造了一个链级代数模型。它证明了电流复形的Hochschild同调携带一个Gerstenhaber代数结构，该结构同构于Chas-Sullivan的循环积；此外，还表明自由循环空间上的$S^1$-作用通过Connes型算子提升为Batalin-Vilkovisky代数结构，即使在非单连通流形上也成立。

ABSTRACT

A chain complex model for the free loop space of a connected, closed and oriented manifold is presented, and on its homology, the Gerstenhaber and Batalin-Vilkovisky algebra structures are defined and identified with the string topology structures. The gravity algebra on the equivariant homology of the free loop space is also modeled. The construction includes non simply-connected case, and therefore gives an algebraic and chain level model of Chas-Sullivan's String Topology.

研究动机与目标

• 为流形的自由循环空间上的弦拓扑结构——Gerstenhaber代数、Batalin-Vilkovisky代数和重力代数——提供一个链级代数模型。
• 通过引入惠特尼多项式形式和电流的DG开Frobenius型代数，解决弦拓扑中定义链级交积的挑战。
• 将该模型推广至非单连通流形，从而将Chas-Sullivan的弦拓扑推广到非单连通情形。
• 建立扭曲张量积$A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$与完整余循环cobar复形$\widehat{CC}_*(C(M))$之间的拟同构，该复形对自由循环空间链复形进行了建模。

提出的方法

• 使用惠特尼多项式形式$A(M)$和电流$C(M)$构造一个DG开Frobenius型代数$(A(M), C(M), \iota)$，其中$A(M)$为DG代数，$C(M)$为具有相容coproduct的DG余代数。
• 使用完整cobar构造$\widehat{CC}_*(C(M))$作为自由循环空间$LM$的链模型，其微分具有类似于循环bar复形的扭曲形式。
• 通过$A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$中的扭曲积在$HH_*(C(M))$上定义循环积，证明其为交换的，并具有Gerstenhaber括号。
• 在$\widehat{CC}_*(C(M))$上引入一个Connes型算子$B$，以代数方式建模$LM$上的$S^1$-作用，该算子在同调上提升为BV算子。
• 通过拟同构和Frobenius相容性，证明$HH_*(C(M))$上的BV代数结构与Chas-Sullivan的BV结构同构。
• 通过直接计算扭曲张量积上的微分和$B$-作用，验证BV代数和重力代数公理，表明其与已知代数恒等式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个自由循环空间的链级模型，以捕捉弦拓扑的完整代数结构，包括Gerstenhaber代数和Batalin-Vilkovisky代数？
• RQ2 当横截性失效时，如何在链级上代数化实现Frobenius相容性条件？
• RQ3 该模型是否可推广至非单连通流形，同时保持弦拓扑结构？
• RQ4 能否通过链复形上的Connes型算子代数化建模自由循环空间上的$S^1$-作用？
• RQ5 电流复形$C(M)$的Hochschild同调是否同构于$LM$的弦拓扑同调，作为Gerstenhaber代数？

主要发现

• 电流复形$C(M)$的Hochschild同调$HH_*(C(M))$携带一个Gerstenhaber代数结构，该结构同构于$H_*(LM; \mathbb{Q})$上的Chas-Sullivan循环积。
• 自由循环空间$LM$上的$S^1$-作用通过$\widehat{CC}_*(C(M))$上的Connes型算子$B$被提升，从而在$HH_*(C(M))$上诱导出一个Batalin-Vilkovisky代数结构，该结构同构于Chas-Sullivan的BV代数。
• 该模型适用于非单连通流形，将弦拓扑推广至比单连通情形更广泛的流形类别。
• 扭曲积$A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$与$\widehat{CC}_*(C(M))$之间存在拟同构，确保该链模型能正确计算同调。
• BV算子由$B$在Hochschild复形上的作用产生，其与Gerstenhaber括号的相容性通过微分和$B$-作用的显式计算得到验证。
• 对$B$-作用和微分的代数恒等式被证明与预期的重力代数关系一致，从而确认该模型完整捕捉了弦拓扑的代数结构。