[论文解读] An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs

Matthew Kwan, Lisa Sauermann|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文建立了二次 Littlewood-Offord 问题的代数逆定理，表明若一个独立 Rademacher 变量的二次多项式在某点的概率显著大于 $1/n$，则该多项式必接近于一个低秩二次型。该结果被应用于 Ramsey 图，渐近地解决了关于 $C$-Ramsey 图中诱导子图的边数差异数量的一个猜想。

ABSTRACT

Consider a quadratic polynomial $f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n} ight)$ of independent Bernoulli random variables. What can be said about the concentration of $f$ on any single value? This generalises the classical Littlewood--Offord problem, which asks the same question for linear polynomials. As in the linear case, it is known that the point probabilities of $f$ can be as large as about $1/\sqrt{n}$, but still poorly understood is the "inverse" question of characterising the algebraic and arithmetic features $f$ must have if it has point probabilities comparable to this bound. In this paper we prove some results of an algebraic flavour, showing that if $f$ has point probabilities much larger than $1/n$ then it must be close to a quadratic form with low rank. We also give an application to Ramsey graphs, asymptotically answering a question of Kwan, Sudakov and Tran.

研究动机与目标

• 理解在何种结构条件下，独立 Rademacher 变量的二次多项式会表现出显著高于 $1/n$ 的点概率集中度。
• 将逆定理从线性情形推广至二次 Littlewood-Offord 问题，重点关注多项式的代数与算术特征。
• 将逆定理应用于 Ramsey 图论，特别是用于界定诱导子图中不同边数的数量。
• 渐近地解决关于 $C$-Ramsey 图中 $k$-顶点诱导子图的边数差异数量的一个猜想。

提出的方法

• 建立一个代数逆定理，表明若一个二次多项式的点概率 $\gg 1/n$，则其接近于一个低秩二次型。
• 使用谱论与代数技术分析二次型系数矩阵的结构。
• 建立与二次型相关对称矩阵的秩和多项式输出反集中度之间的联系。
• 将逆定理应用于 Ramsey 图中诱导子图的边数随机变量，利用方差估计与反集中度界。
• 通过基于不均度的构造方法，构建一系列边数递增的子图，从而在边数区间上使用并集界。
• 利用切比雪夫不等式与局部反集中度假设，证明子图中不同边数的数量为 $\Omega(n^{3/2})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，独立 Rademacher 变量的二次多项式会表现出显著高于 $1/n$ 的点概率？
• RQ2 此类多项式的逆结构是否可由其接近于低秩二次型来刻画？
• RQ3 该逆定理是否意味着 $C$-Ramsey 图中边数统计量具有强反集中度？
• RQ4 能否证明 $C$-Ramsey 图中 $k$-顶点诱导子图的边数差异数量下界为 $\Omega(n^{3/2})$？
• RQ5 是否存在 Ramsey 图中边数分布的局部中心极限定理，以支持 Erdős 与 McKay 的一个猜想？

主要发现

• 若一个 $n$ 个独立 Rademacher 变量的二次多项式具有点概率 $\gg 1/n$，则其接近于一个低秩二次型。
• 逆定理建立了一种结构二分：高集中度意味着代数上的简单性（低秩结构）。
• 在 Ramsey 图上的应用表明，任意 $n$ 个顶点的 $C$-Ramsey 图，当 $k = \Omega(n)$ 且 $n/2 - k = \Omega(n)$ 时，其 $k$-顶点诱导子图中具有 $\Omega(n^{3/2})$ 个边数不同的子图。
• 该结果渐近地解决了 Kwan、Sudakov 与 Tran 关于 Ramsey 图诱导子图中边数差异数量的猜想。
• 证明依赖于通过不均度论证与顶点交换构造的一系列边数相差 $\Omega(n^{3/2})$ 的子图。
• 分析表明，在局部反集中度假设下，此类子图中边数分布的支撑集大小为 $\Omega(n^{3/2})$。