[论文解读] An algebraic Wasserstein distance for generalized persistence modules

Peter Bubenik, Jonathan Scott+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文提出了用于持久性模的代数Wasserstein距离，避免了计算持久性图的需要。证明了持久性模与其持久性图之间的p-Wasserstein距离是等距的，从而通过代数框架使非区间可分解及多参数持久性模的应用成为可能，同时建立了单射和满射的诱导匹配。

ABSTRACT

The Wasserstein distances are a family of $L^p$ distances, with $1 \leq p \leq \infty$, for persistence diagrams. We define Wasserstein distances for persistence modules, the algebraic counterpart to persistence diagrams, and prove the following isometry theorem. The $p$-Wasserstein distance of a persistence module and its persistence diagram agree. Since our algebraic Wasserstein distances do not require computing a persistence diagram, they apply to persistence modules that are not interval decomposable and also to generalized persistence modules, such as multi-parameter persistence modules. We also prove structure theorems for maps from an interval module and maps to an interval module and show that for monomorphisms and epimorphisms of persistence modules there is an induced algebraic matching.

研究动机与目标

• 在不依赖持久性图计算的前提下，直接在持久性模上定义Wasserstein距离。
• 将Wasserstein距离扩展至广义持久性模，包括多参数和非区间可分解模。
• 建立代数Wasserstein距离与持久性图上标准Wasserstein距离之间的等距关系。
• 证明涉及区间模的映射的结构定理，并展示单射和满射的诱导代数匹配。

提出的方法

• 使用持久性模空间上的L^p范数定义代数p-Wasserstein距离。
• 建立代数p-Wasserstein距离与持久性图上标准p-Wasserstein距离之间的等距关系。
• 利用持久性模的结构定理分析指向或来自区间模的映射。
• 证明持久性模之间的单射和满射在代数Wasserstein框架中诱导出代数匹配。
• 利用代数表述将距离推广至非区间可分解模之外的范围。
• 通过避免基于图的计算，将理论应用于多参数持久性模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖持久性图的前提下，直接在持久性模上定义Wasserstein距离？
• RQ2 代数Wasserstein距离是否与持久性图上的标准Wasserstein距离一致？
• RQ3 该理论如何扩展至非区间可分解和多参数持久性模？
• RQ4 在代数Wasserstein设置中，指向或来自区间模的映射诱导出何种结构？
• RQ5 持久性模之间的单射和满射能否诱导出代数匹配？

主要发现

• 持久性模的代数p-Wasserstein距离与其对应持久性图的p-Wasserstein距离是等距的。
• 所提出的代数距离对所有持久性模（包括非区间可分解模）均有良好定义。
• 该框架自然适用于多参数持久性模，其中持久性图通常不可用。
• 指向或来自区间模的映射在代数Wasserstein设置中诱导出特定的结构特性。
• 持久性模之间的单射和满射诱导出代数匹配，推广了基于图的匹配概念。
• 该理论为在图计算不可行的场景下，提供了计算上可行的基于图距离的替代方案。