[论文解读] Interleaving and Gromov-Hausdorff distance

Peter Bubenik, Vin de Silva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用 14

一句话总结

本文提出了一种用于交错距离的范畴框架，通过将交错距离建模为具有共同上域的函子的扩张问题的解，从而推广了Hausdorff距离与Gromov-Hausdorff距离。主要贡献是一个统一的理论，可恢复已知的交错距离，并将其推广至广义持久性模，包括通过Lawvere度量空间在动力系统和度量空间中的应用。

ABSTRACT

One of the central notions to emerge from the study of persistent homology is that of interleaving distance. It has found recent applications in symplectic and contact geometry, sheaf theory, computational geometry, and phylogenetics. Here we present a general study of this topic. We define interleaving of functors with common codomain as solutions to an extension problem. In order to define interleaving distance in this setting we are led to categorical generalizations of Hausdorff distance, Gromov-Hausdorff distance, and the space of metric spaces. We obtain comparisons with previous notions of interleaving via the study of future equivalences. As an application we recover a definition of shift equivalences of discrete dynamical systems.

研究动机与目标

• 开发一种超越传统持久性模的交错距离的通用范畴框架。
• 通过函子扩张，统一并推广Hausdorff与Gromov-Hausdorff距离的概念。
• 为交错距离建立一个范畴基础，使其适用于包括辛几何、层论与动力系统在内的多种数学领域。
• 将离散动力系统中的平移等价性作为所提交错框架的特例恢复。

提出的方法

• 将具有共同上域的函子的交错定义为范畴扩张问题的解。
• 通过范畴构造引入广义交错距离，该构造推广了经典交错距离。
• 使用Lawvere度量空间建模度量结构，并通过伴随函子将其与加权范畴关联。
• 在加权集范畴 $\mathbf{wSet}$ 与Lawvere度量空间范畴 $\mathbf{Lawv}$ 之间建立张量伴随，以形式化度量扩张。
• 将该框架应用于将Hausdorff距离解释为集合偏移族之间的交错距离。
• 在度量空间及其函子的背景下，将理论推广至Gromov-Hausdorff型距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将交错距离推广至具有共同上域的函子，而不仅限于持久性模？
• RQ2 交错概念背后的范畴结构是什么？它如何被形式化为一个扩张问题的解？
• RQ3 Hausdorff与Gromov-Hausdorff距离能否作为统一交错距离构造的特例被恢复？
• RQ4 所提框架如何将离散动力系统中已知的平移等价性作为特例恢复？
• RQ5 Lawvere度量空间在统一度量与持久性理论结构中起什么作用？

主要发现

• 由 $F_A(a) = A^a$ 和 $F_B(a) = B^a$ 定义的两个偏移族 $F_A$ 与 $F_B$ 之间的交错距离等于经典的Hausdorff距离 $d_H(A,B)$，从而建立了直接的范畴等价性。
• 交错距离的构造被推广至由偏序集 $([0,\infty), \leq)$ 索引的函子，其中平移由 $\Omega_r(a) = a + r$ 给出，形成一个超线性族。
• 在加权集范畴 $\mathbf{wSet}$ 与Lawvere度量空间范畴 $\mathbf{Lawv}$ 之间建立了张量伴随，其中右伴随 $\kappa$ 将 $a \in [0,\infty]$ 映射到权重为 $a$ 的单点空间，左伴随 $i_*$ 通过路径上权重的下确界分配距离。
• 加权范畴 $\mathbf{wCat}$ 上的交错距离在对象上诱导出一个Lawvere度量，定义为 $d(X,Y) = \inf_{\gamma \in \mathbf{C}(X,Y)} w_C(\gamma)$，该定义推广了路径长度度量。
• 该框架将离散动力系统中的平移等价性作为所提范畴构造下交错的特例恢复。
• 通过将它们的交错距离解释为所提一般框架的实例，该理论被扩展至广义持久性模，包括层、余层以及Floer理论构造。