[论文解读] An Algorithmic Framework for Approximating Maximin Share Allocation of Chores

Xin Huang, Pinyan Lu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Auction Theory and Applications参考文献 41被引用 24

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法框架，可保证在 n 名代理人之间对不可分的杂物进行分配时，获得 11/9-近似最大最小份额（MMS）分配，优于此前已知的最佳界限 4/3。该方法采用一种按递减顺序排列物品的贪心捆绑填充策略，并结合二分查找，确保所有杂物均被分配，同时使每位代理人的分配公平性保持在 MMS 值的 11/9 因子以内。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of how to fairly dividing $m$ indivisible chores among $n$ agents. The fairness measure we considered here is the maximin share. The previous best known result is that there always exists a $\frac{4}{3}$ approximation maximin share allocation. With a novel algorithm, we can always find a $\frac{11}{9}$ approximation maximin share allocation for any instances. We also discuss how to improve the efficiency of the algorithm and its connection to the job scheduling problem.

研究动机与目标

• 解决在代理人之间公平分配不可分杂物的问题，因为传统的公平概念（如无 envy 或比例公平）可能不适用。
• 将杂物 MMS 分配的最佳已知逼近比从 4/3 提升至 11/9。
• 设计一种高效算法，保证 11/9-逼近比，同时确保所有杂物均被分配。
• 探索杂物分配与作业调度问题之间的联系，特别是从装箱问题和负载均衡的视角。

提出的方法

• 通过 Bouveret 和 Lemaître（2014）提出的技术，将一般杂物分配实例简化为所有代理人具有相同序数偏好的等价实例。
• 按照每位代理人估值的递减顺序对杂物进行排序，以优先处理高价值（棘手）的物品。
• 采用贪心捆绑填充过程：只要至少有一位代理人认为该捆绑的价值不超过其 MMS 的 11/9，就尽可能多地向捆绑中添加杂物。
• 通过在阈值上进行二分查找，确定能实现完整分配的最小此类界限，并使用朴素测试方法验证可行性。
• 应用 PTAS 作业调度算法，实现 (11/9 + ε) 的逼近比，并通过减少二分查找的迭代次数来优化效率。
• 将该框架适配至作业调度问题，当估值为整数时，实现 O(m log m + n) 时间复杂度的 11/9-逼近比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将杂物 MMS 分配的逼近比超越此前已知的 4/3 界限？
• RQ2 是否存在一种多项式时间算法，能保证对任意杂物分配实例均实现 11/9-逼近比的 MMS 分配？
• RQ3 所提出的算法框架所能达到的最紧逼近比是多少？该比值能否逼近理论下限？
• RQ4 所提出的框架与现有算法（如首次适应递减算法 FFD）在装箱和作业调度中的关系如何？
• RQ5 该框架能否被调整以生成适用于现实世界杂物或作业分配场景的高效实用算法？

主要发现

• 本文证明了对于任意杂物分配实例，11/9-逼近最大最小份额分配始终存在。
• 所提出的算法保证每位代理人获得的价值至少为其个人 MMS 的 1/11/9。
• 该算法通过在整个迭代捆绑分配过程中维持一个关键不变量，确保所有杂物均被完整分配。
• 在估值相同（即作业调度）的特殊情况下，该算法的时间复杂度为 O(m log m + n)，可实现 11/9-逼近比。
• 该框架被证明比现有作业调度的 PTAS 方法更高效且概念更简洁，同时逼近比优于许多启发式算法。
• 从存在性结果中推导出一种用于 5/4-逼近比的高效多项式时间算法，展示了该框架在实际效率约束下的可适应性。