[论文解读] An Almost Sure Invariance Principle for Several Classes of Random Dynamical Systems

Jason Atnip|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文為具有非平稳纤维测度的一类广泛随机动力系统建立了几乎必然不变性原理（ASIP），利用基空间的谱间隙性质与相关性指数衰减。证明了此类系统满足ASIP，且误差指数超过1/4，将Gouëzel的方法推广至非中心Hölder观测函数，并将结果应用于均匀扩张的随机系统，如DG*-系统。

ABSTRACT

In this paper we deal with a large class of dynamical systems having a version of the spectral gap property. Our primary class of systems comes from random dynamics, but we also deal with the deterministic case. We show that if a random dynamical system has a fiberwise spectral gap property as well as an exponential decay of correlations in the base, then, developing on Gouëzel's approach, the system satisfies the almost sure invariance principle. The result is then applied to uniformly expanding random systems like those studied by Denker and Gordin and Mayer, Skorulski, and Urbański.

研究动机与目标

• 将几乎必然不变性原理（ASIP）扩展至具有非平稳纤维测度的随机动力系统。
• 解决在先前结果仅限于中心化或平稳情况时，随机系统中非中心Hölder观测函数的挑战。
• 建立ASIP在随机设定下成立的条件，特别是涉及谱间隙与基空间混合性。
• 将理论应用于均匀扩张随机系统（如DG*-系统）的特定类别。
• 将Gouëzel的谱方法推广至随机、非平稳设定，并改进误差指数的控制。

提出的方法

• 将Gouëzel的谱方法适配于具有纤维谱间隙与基空间相关性指数衰减的随机动力系统。
• 使用转移算子分析系统的谱性质，并建立相关函数的Hölder连续性。
• 应用定理5.6，证明函数 $ x \mapsto \int_{\mathcal{J}_x} \mathcal{L}_{r_{n-1},\theta^{-1}(x)} \circ \cdots \circ \mathcal{L}_{r_0,\theta^{-n}(x)}(u_{\theta^{-n}(x)}) \, d\nu_x $ 在基空间 $ X $ 上的Hölder连续性。
• 证明表示纤维测度密度的函数 $ \rho $ 在 $ \mathcal{J} $ 上为 $ \varkappa $-Hölder连续，其中 $ \varkappa = \min\{\alpha, \beta_\alpha\} $。
• 应用定理3.1以验证ASIP的假设，利用Hölder范数的统一有界性与谱间隙估计。
• 利用斜积结构 $ T(x,z) = (\theta(x), T_x(z)) $ 分解动力系统，并随时间分析观测函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非平稳纤维测度的随机动力系统满足几乎必然不变性原理？
• RQ2 如何将Gouëzel的谱方法扩展至处理随机设定中非中心Hölder观测函数？
• RQ3 基系统中相关性的指数衰减在使非平稳测度满足ASIP方面起到何种作用？
• RQ4 在所提条件下，均匀扩张的随机系统（如DG*-系统）是否满足ASIP？
• RQ5 此类系统的ASIP中误差指数能否优于 $ 1/4 $ ？

主要发现

• 只要纤维转移算子具有谱间隙，且基映射表现出相关性指数衰减，系统即满足ASIP，且误差指数大于 $ 1/4 $。
• ASIP对一般Hölder观测函数成立，不仅限于中心化情况，从而扩展了先前仅限于中心化或平稳情况的结果。
• 对于DG*-系统，通过验证定理3.1的假设，确立了ASIP，其依赖于密度 $ \rho $ 的Hölder连续性与转移算子范数的统一有界性。
• 证明了函数 $ x \mapsto \int_{\mathcal{J}_x} \mathcal{L}_{r_{n-1},\theta^{-1}(x)} \circ \cdots \circ \mathcal{L}_{r_0,\theta^{-n}(x)}(u_{\theta^{-n}(x)}) \, d\nu_x $ 在 $ X $ 上为 $ \beta_\zeta $-Hölder连续，且其 $ \mathbb{H}_{\beta_\zeta} $ 范数一致有界。
• 当极限方差 $ \sigma^2 = 0 $ 时，Birkhoff和 $ S_n g - \mu(g) $ 的 $ L^2 $-范数对所有 $ n $ 保持一致有界，表明存在非高斯行为。